高考数学全国卷大题：数列

数列A组：等差数列的最值

2008年理数海南卷题17（12分）

已知 $\{a_n\}$ 是一个等差数列，且 $a_2=1,a_5=-5$ .

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$ ；

（2）求 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$ 的最大值.

2018年理科数学全国卷二题17（12分）

记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=-7,\; S_3=-15.$

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）求 $S_n$ ，并求 $S_n$ 的最小值。

数列B组：等差数列与等比数列

2013年理科数学大纲卷题17（10分）

等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，已知 $S_3=a_2^2$ ，且 $S_1,S_2,S_4$ 成等比数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式。

2018年理科数学全国卷三题17（12分）

等比数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=1,a_5=4a_3.$

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和。若 $S_m=63$ ，求 $m$ 。

2019年理科数学全国卷二题19（12分）

已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_1=1,b_1=0$ , $4a_{n+1}=3a_n - b_n +4$ , $4b_{n+1}=3b_n-a_n-4$ 。

（1）证明： $\{a_n + b_n\}$ 是等比数列， $\{a_n - b_n\}$ 是等差数列；

（2）求 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式.

数列C组：『三角数阵』与分组求和

2010年理科数学海南卷题17（12分）

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2,a_{n+1} - a_n = 3 \cdot 2^{2n-1} .$

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）令 $b_n = na_n$ ，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 。

2020年全国卷一题17（12分）

设 $\{ a_n \}$ 是公比不为 $1$ 的等比数列， $a_1$ 为 $a_2,a_3$ 的等差中项.

（1）求 $\{ a_n \}$ 的公比；

（2）若 $a_1 =1$ ，求数列 $\{ n a_n \}$ 的前 $n$ 项和.

2020年全国卷三题17（12分）

设数列 $\{ a_n \}$ 满足 $a_1=3, a_{n+1}=3 a_n -4n$

（1）计算 $a_2,a_3$ ，猜想 $\{ a_n \}$ 的通项公式并加以证明；

（2）求数列 $\{ 2^n a_n \}$ 的前 $n$ 项和 $S_n.$

数列D组：裂项求和

2011年理科数学大纲卷题20（12分）

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$ 且 $\dfrac{1}{1-a_{n+1}} - \dfrac{1}{1-a_n} = 1.$

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $b_n = \dfrac{1- \sqrt{a_{n+1}}}{ \sqrt{n}}$ ，记 $S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} b_k$ ，证明： $S_n \lt 1$ .

2014年理科数学大纲卷题18

等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ . 已知 $a_1=10$ ， $a_2$ 为整数，且 $S_n \leqslant S_4.$

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $b_n=\dfrac{1}{a_na_{n+1}}$ ，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ .

2015年理科数学全国卷一题17（12分）

$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_n \gt 0, \; a_n^2 + 2 a_n = 4 S_n +3.$

（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $b_n= \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}$ ，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和。

数列E组：在交叉处和交汇点命题~函数及不等式

2011年理科数学全国卷题20（12分）

等比数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，且 $2a_1+3a_2=1,a_3^2=9a_2a_6$ .

（1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（2）设 $b_n = \log_3 a_1+ \log_3 a_2 + \dots + \log_3 a_n$ ，求数列 $\{ \dfrac{1}{b_n} \}$ 的前 $n$ 项和.

2016年理科数学全国卷二题17（12分）

$S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_1=1,S_7=28$ . 记 $b_n=[\lg a_n]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[0.9]=0, \; [\lg 99]=1.$

（1）求 $b_1,\; b_{11},\; b_{101}$ ；

（2）求数列 $\{b_n\}$ 的前 1 000 项和。

2014年理科数学全国卷二题17

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_{n+1}=3a_n+1.$

（1）证明 $\{a_n+\dfrac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_n\}$ 的通项公式。

（2）证明 $\dfrac{1}{a_1}+ \dfrac{1}{a_2}+ \dots + \dfrac{1}{a_n} \lt \dfrac{3}{2}$

数列F组：通项公式、递推公式及求和公式

2014年理科数学全国卷一题17（12分）

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n,a_1=1,a_n \ne 0, a_n a_{n+1} = \lambda S_n -1$ ，其中 $\lambda$ 为常数。

（1）证明： $a_{n+2} - a_n = \lambda$ ；

（2）是否存在 $\lambda$ ，使得 $\{a_n\}$ 为等差数列？并说明理由。

2016年理科数学全国卷三题17（12分）

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=1+ \lambda a_n$ ，其中 $\lambda \ne 0.$

（1）证明 $\{a_n\}$ 是等比数列，并求其通项公式；

（2）若 $S_5=\dfrac{21}{32}$ ，求 $\lambda$ 。

数列G组：在学科交叉处和知识的交汇点命题

2012年理科数学大纲卷（12分）

函数 $f(x)= x^2 - 2x -3$ 。定义数列 $\{x_n\}$ 如下： $x_1=2,x_{n+1}$ 是过两点 $P(4,5), Q_n(x_n,f(x_n))$ 的直线 $PQ_n$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。

（1）证明： $2 \leqslant x_n \lt x_{n+1} \lt 3$ ；

（2）求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式。

最后编辑于：2021.02.28 23:11:41

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