【机器学习】梯度下降算法

梯度下降算法

若单个误差为： $e=\frac{1}{2}(y-\bar{y})^2$

则误差和：
$\begin{aligned} E&=e^{(1)}+e^{(2)}+e^{(3)}+...+e^{(n)}\\ &=\sum_{i=1}^{n}e^{(i)}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \end{aligned}$

代入 $\bar{y}^{(i)}=\mathrm{w}^T\mathrm{x}^{(i)}$ ，得

$E(\mathrm{w})=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(\mathrm{y^{(i)}-\mathrm{w}^Tx^{(i)}})^2$
接下来的任务，就是要找到合适的 $\mathrm w$ ，使得函数 $E(\mathrm{w})$ 能取到最小值。

这里要用到函数 $E(\mathrm{w})$ 的梯度。梯度是一个向量，它指向函数值上升最快的方向，而梯度的反方向，则指向函数值下降最快的方向。
对于函数f(x)来说，我们要沿着梯度的反方向，去修改x的值，直到走到函数的最小值附近。
对于函数f(x)，梯度下降算法的参数修改规则为
$\mathrm{x}_{new}=\mathrm{x}_{old}-\eta\nabla{f(x)}\quad\quad(1)$

其中， $\nabla{f(x)}$ 为函数f(x)的梯度， $\eta$ 为学习速率。

对于函数 $E(\mathrm{w})$ ，对应的梯度下降算法的参数修改规则为
$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}-\eta\nabla{E(\mathrm{w})}$

接下来的问题，就是求梯度 $\nabla{E(\mathrm{w})}$ 。

求梯度 $\nabla{E(\mathrm{w})}$

函数的梯度的定义就是它相对于各个变量的偏导数，因此有

$\begin{aligned} \nabla{E(\mathrm{w})}&=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}E(\mathrm{w})\\ &=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \\ \end{aligned}$

得到了
$\begin{aligned} \nabla{E(\mathrm{w})} &=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 \quad\quad(2)\\ \end{aligned}$
之后，接下来的任务就是求
$\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2$

即
$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2 &= {\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2} {\frac{\partial{\bar{y}}}{\partial\mathrm{w}}} \end{aligned}$

因为
$\begin{aligned} {\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2} =&\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)2}-2\bar{y}^{(i)}y^{(i)}+\bar{y}^{(i)2})\\ =&-2y^{(i)}+2\bar{y}^{(i)}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} {\frac{\partial{\bar{y}}}{\partial\mathrm{w}}}= &\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\mathrm{w}^T\mathrm{x}=\mathrm{x} \end{aligned}$

所以
$\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2= {\frac{\partial}{\partial\bar{y}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2} {\frac{\partial{\bar{y}}}{\partial\mathrm{w}}} =2(-y^{(i)}+\bar{y}^{(i)})\mathrm{x}$

代入到 $(2)$ ，得
$\begin{aligned} \nabla{E(\mathrm{w})} &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})^2\\ &=-\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})\mathrm{x} \end{aligned}$

将 $\nabla{E(\mathrm{w})}=-\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})\mathrm{x}^{(i)}$
代入到

$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}-\eta\nabla{E(\mathrm{w})}$

最终得到 $\mathrm{w}$ 的修改规则为
$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}+\eta\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)})\mathrm{x}^{(i)}$

参考资料：https://www.zybuluo.com/hanbingtao/note/448086

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