chapter15.1-2 时间序列1--时间序列分解

15.1 时间序列--概念

15.1.1 概念

横截面数据：在一个给定的时间点测量变量值
纵向数据：随着时间的变化反复测量变量值

对时序数据的研究包括两个基本问题：

对数据的描述【这段时间内发生了什么？趋势？季节性？】
预测【接下来会发生什么？时间序列模型的预测】

15.1.2 生成时间序列

在R中，一个数值型向量或数据框中的一列可通过ts()函数存储为时序对象

myseries <- ts(data, start=, end=, frequency=)

data：原始的包含观测值的数值型向量

start：时序的起始时间

end：时序的终止时间

frequency：为每个单位时间所包含的观测值数量（如frequency=1对应年度数据，frequency=12对应月度数据，frequency=4对应季度数据

sales <- c(18, 33, 41, 7, 34, 35, 24, 25, 24, 21, 25, 20, 22, 31, 40, 29, 25, 21, 22, 54, 31, 25, 26, 35)
tsales <- ts(sales, start=c(2003, 1), frequency=12) 
tsales
plot(tsales)   # 绘制时间序列

start(tsales)         # start()获得起始时间
end(tsales)           # end()获得结束时间
frequency(tsales)     # frequency()获得频率

# window()函数取子集
tsales.subset <- window(tsales, start=c(2003, 5), end=c(2004, 6)) 
tsales.subset

15.2 时序的平滑化和季节分解

时间序列数据【存在季节性因素，如月度数据、季度数据等】可以被分解为趋势因子、季节性因子和随机因子

趋势因子trend component能捕捉到长期变化
季节性因子seasonal component能捕捉到一年内的周期性变化
随机（误差）因子irregular/error component能捕捉到那些不能被趋势或季节效应解释的变化。

可以通过相加模型，也可以通过相乘模型来分解数据
$\begin{align} \\&Y_{t} = Trend_{t} + Seasonal_{t} + Irregular_{t} \\ \\&Y_{t} = Trend_{t} \times Seasonal_{t} \times Irregular_{t} \end{align}$
对于乘法模型，可以取对数，将其转化为加性模型

那么如何将时间序列进行拆分，分解成这三部分呢？对于趋势和季节的分解，下面介绍移动平均和季节因子

15.2.1 分解趋势--移动平均

时序数据集中通常有很显著的随机或误差成分。为了辨明数据中的规律，我们总是希望能够撇开这些波动，画出一条平滑曲线。画出平滑曲线的最简单办法是简单移动平均。比如每个数据点都可用这一点和其前后q个点的平均值来表示，这就是居中移动平均centered moving average
$S_{t} =\frac{ (Y_{t-q}+...+Y + ...+Y_{t+q})}{2q+1}$

St是时间点t的平滑值，k=2q+1是每次用来平均的观测值的个数，一般我们会将其设为一个奇数。居中移动平均法的代价是，每个时序集中我们会损失最后的q个观测值，平均值消除了数据中的一些随机性

使用R语言forecast包中的ma()函数来对Nile时序数据进行平滑处理

ma(ts,k=)

ts：时间序列数据

k：移动平均的步长为k

library(forecast) 
opar <- par(no.readonly=TRUE) 
par(mfrow=c(2,2)) 
ylim <- c(min(Nile), max(Nile)) 
plot(Nile, main="Raw time series") 
plot(ma(Nile, 3), main="Simple Moving Averages (k=3)", ylim=ylim) 
plot(ma(Nile, 7), main="Simple Moving Averages (k=7)", ylim=ylim) 
plot(ma(Nile, 15), main="Simple Moving Averages (k=15)", ylim=ylim) 
par(opar)

从图像来看，随着k的增大，图像变得越来越平滑。因此我们需要找到最能画出数据中规律的k，避免过平滑或者欠平滑。这里并没有什么特别的科学理论来指导k的选取，我们只是需要先尝试多个不同的k，再决定一个最好的k

除此之外，还可以使用加权移动平均来进行平滑化
$\begin{align} \\& assuming\ k=2q+1 \\ \\& weight = [a_{t-q},...,a_{t},...,a_{t+q}] \\ \\& S_{t} = \sum _{j = t-q}^{t+q}ajY_{j} \end{align}$

加权移动平均法的一大优势是它可以让趋势周期项的估计更平滑。观测值不是直接完全进入或离开计算，它们的权重缓步增加，然后缓步下降，让曲线更加平滑

15.2.2 季节分解

季节指数的计算

季节因子(Seasonal factor)

$\begin{align} \\& \bar x_{k} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}k}{n}, n = 1,2,3... \\ \\& \bar x = \frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}{m}x_{i}k}{nm},n = 1,2,3... ; k=1,2,3...m \\ \\&S_{k} = \frac{\bar x_{k}}{\bar x},k=1,2,3....m \end{align}$

Sk代表第k个季节的季节因子，分子代表第k个季度的平均数，分母代表总平均数
季节因子表示第k个季节的数相对于总平均数的占比，反应当前季节相对于平均值的变化
Sk越接近1，季节性越弱，Sk大于1说明该季度的值高于平均值，Sk小于1说明该季度的值低于平均值

季节性差分

有时候我们需要消除季节性，需要将季节性从数据中剔除，这个过程叫季节调整
$\Delta _sx_{t} = x_{t} - x_{t-s}$
s代表周期，即使用t期的数据减t-s期的数据

将时序分解为趋势项、季节项和随机项的常用方法是用LOESS光滑做季节性分解。这可以通过R中的stl()函数

stl(ts, s.window=, t.window=)

ts：要分解的时间序列

s.window：控制季节效应变化的速度

t.window：控制趋势项变化的速度

stl函数只能处理相加模型，如果要处理相乘模型，可以使用log进行转换

AirPassengers  # 国际航班乘客数据集
plot(AirPassengers) 
lAirPassengers <- log(AirPassengers) 
plot(lAirPassengers, ylab="log(AirPassengers)")
fit <- stl(lAirPassengers, s.window="period")  # 将季节效应限定为每年都一样
plot(fit)
fit$time.series