代数的一些基础
预备知识
映射
任意两个集合
，映射
指的是一种对应关系，是的
，都有确定的%5Cin%20B)
与之对应。
若一个映射使得不相同的元素映射后的像也不相同，则这个映射
是单射（injective）。
若一个映射的陪域
等于值域)
，则这个映射是满射（surjective），满射也可以表达为对于陪域中的任何一个元素，都在定义域中存在映射下的原像。
若映射既是单射又是满射，则该映射为双射或一一映射（bijective）。
自身到自身的映射
，称为A上的一个变换(transformation)，如果该映射是双射，且集合A为有限集，则称映射为集合
上的一个置换(permutation)。
关系与划分
等价关系：集合
上的一个二元运算
，满足：
自反性：
，
对称性：
，
传递性：
。
设是集合上的一个等价关系，
，定义a的等价类为![\overline{a}=[a]=\{b\in S|b\sim a\}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Coverline%7Ba%7D%3D%5Ba%5D%3D%5C%7Bb%5Cin%20S%7Cb%5Csim%20a%5C%7D)
，称
为等价类
的代表元。
显然，集合对于某一等价关系得到的所有等价类都是该集合的子集，且这些子集两两不相交，并且这些子集的并集就是，这样的分类称为集合的一个划分(partition)，在每个等价类中各取一个代表元，组成的集合称为代表元系。因此有![S=\bigcup_{a\in R} [a]](https://math.jianshu.com/math?formula=S%3D%5Cbigcup_%7Ba%5Cin%20R%7D%20%5Ba%5D)
，其中
是代表元系。例如，可以根据模3的结果将整数集合分为3类：可以被3整除的数、模3余1的数、模3余2的数，其代表元分别为0、1、2。由于等价关系，代表元的选取不是唯一的，上述代表元写成3、10、101也可以。
定义
，为S对 的商集合；
定义映射![\pi: S \to S/ \sim \ ,\ \ a \mapsto [a]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cpi%3A%20S%20%5Cto%20S%2F%20%5Csim%20%5C%20%2C%5C%20%5C%20a%20%5Cmapsto%20%5Ba%5D)
为S到
的自然映射；
群Group
群定义：非空集合
中有一个二元运算
，如果满足：
- G对运算封闭：
，有
；
- 结合律：
，有%20%5Ccdot%20c%20%3D%20a%20%5Ccdot%20(b%20%5Ccdot%20c))
；
- 存在单位
，
，对
成立；
- 存在逆元，即
，有
。
则称)
为一个群。
交换群abelian group：，有
对称群、变换群、置换群
设
是一个非空集合， )
是的所有一一变换构成的集合。规定该集合上面的二元运算为<u>变换的合成</u>，即 
和 )
，定义(m)%3Dg(f(m)))
，可以验证在这样的定义下， 构成一个群。群的单位元是上的恒等变换
，逆元是变换的逆变换。 称为的对称群(symmetric group)。将的子群统称为变换群（transformation group）。
若 
中有n个元素，则)
称为n次对称群，记作
。其中有
个元素，其元素称为置换，其子群统称为置换群（permutation group）。
可以把n次对称群表示为：
%7C(i_1%2Ci_2%2C%5Ccdots%2Ci_n)%E6%98%AF1%E5%88%B0n%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%8E%92%E5%88%97%5C%7D%20%5C%5C)
其中
表一个置换，是n元有限集 上的一个双射变换，使得
。
轮换和对换：
设置换
，
，如果%3Di_2%2C%20%5Csigma(i_2)%3Di_3%2C%20%5Csigma(i_%7Bt-1%7D)%3Di_t%2C%5Csigma(i_t)%3Di_1)
，且
之外的元素都保持不变，则称是的轮换，也称t-轮换。长度为2的轮换称为对换（transposition），即两个元素交换。长度为1的轮换是恒等变换，可以记作)
。
性质：两个不相交的轮换可交换。任何一个轮换都可以分解为若干个对换的乘积。从而任何一个置换都可以分解为若干个对换的乘积。
如果一个置换等于偶数个对换的乘积，则称之为偶置换；否则称为奇置换。
取中所有偶置换构成的集合，按照置换的复合运算构成一个群，称为n次交错群（alternating group），记作
，其阶数为
。
循环群：
若一个群中存在一个元素，使得对于
，都存在
，使得
，则称为由生成的循环群，记作
，元素称为该群的生成元generator。简单来说循环群就是由一个元素生成的群。
性质：循环群都是交换群。
循环群结构定理：设
是循环群，
- 若G是无限循环群，则
)
，G的生成元只有和
；
- 若G是n阶有限循环群，则
)
，G有)
个生成元
，其中
，且
与
互素，
为欧拉函数，指的是与互素且不超过 的正整数的个数。
可视化例子：
子群
H是G的子群记号：
H是群G的子群判断：
成立。
陪集（考虑左陪集）
设是群，
，
，
定义集合
为以a为代表元在H的一个左陪集，所有；
若在群上定义关系为：
，则关系为等价关系，且所在的等价类与a在H上的左陪集相等，ie.等价类=陪集 
， 因此可以将整个群G表示成一系列左陪集的无交之并，即
，其中
是左陪集的一个代表元系，又被称为左截线集（left transversal）。<u>左陪集组成的集合</u>记为
，称为左商集。
定理：
<font color=red>拉格朗日定理</font>：设是群，，则
。由
，有
得证，为等价关系下的代表元个数，也即商集个数。
由拉格朗日定理可知：素数阶群必定是循环群。
推论：若
，则![[G:K]=[G:H][H:K]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5BG%3AK%5D%3D%5BG%3AH%5D%5BH%3AK%5D)
正规子群：
H是群G的正规子群：
成立，记作
。
左右陪集相等：
，有
；
显然，abel群的子群都是正规子群。
商群：
定义了正规子群后，我们知道正规子群的左陪集与右陪集是没有区别的。我们还可以在陪集之间定义运算：如果一个子群的两个左陪集分别是
和
，规定乘法运算为：(bH)%3D(ab)H)
。那么该定义是well-defined吗？即如果
和
，是否有H%3D(a'b')H)
成立。可以验证，当且仅当
是正规子群时，该乘法运算是良定义的，这也是引入正规自群的原因。
设是群，
，则定义商群为
，为
的全部左陪集，并规定乘法是(bN)%3D(ab)N)
，根据Lagrange定理，该商群的阶是![|G/N|=\frac{|G|}{|N|}=[G:N]](https://math.jianshu.com/math?formula=%7CG%2FN%7C%3D%5Cfrac%7B%7CG%7C%7D%7B%7CN%7C%7D%3D%5BG%3AN%5D)
。
自然同态：设群中，
，映射
，满足%3DgN)
，则
是一个满同态，称为自然同态(natural homomorphism)，它的核为%3DN)
。
看上去这个同态是很自然的，可以看作把群中元素<u>按照不同的陪集</u>进行分类的过程，同一个陪集中的元素映射到相同的像。
群同态与同构：
若)
和)
为两个群，存在一个映射)
，使得对于，有%3D%5Cvarphi(g_1)%20%5Cast%20%5Cvarphi(g_2))
，则称是到的一个同态(homomorphism)。
如果同态是一个双射，则称是到的一个同构(isomorphism)。此时称两个群是同构的，记为
。
如果这个映射
是同构映射，即
，则称是一个到的自同构（automorphism）。
kernel：集合%3D%5C%7Bg%5Cin%20G%7C%5Cvarphi(g)%3De_H%5C%7D)
称为同态的核，
表示群中的单位。
群同态基本性质：
设
是一个群同态，则对于，有
%3De_H)
显然有%3D(%5Cvarphi(g))%5En%2C%20n%5Cin%20%5Cmathbb%7BZ%7D)
%20%5Clhd%20G)
是单态射 %3D%5C%7Be_G%20%5C%7D)
保持正规性、循环、交换。ie：
则%20%5Clhd%20%5Cvarphi(G))
；是循环群，则)
也是循环群。
群同构基本性质：
设两个群，则
。可以将同构的群看作相同的群。
群同态基本定理：
设
是群同态，则%5Clhd%20G_1)
，且有群同构：%5Ccong%20G_1%2F%5Coperatorname%7Bker%7D(%5Cvarphi))
，其中%5Cmapsto%20a%5Coperatorname%7Bker%7D(%5Cvarphi))
。特别的，的任一同态像)
同构于 的一个商群。
记)
，构造一个映射)
，使得%3D%5Cvarphi(a))
，其中%20%3C%20G_2)
，然后证明它是群同构映射即可。
可视化例子：
Galois group：
设
为
的一个扩张域，记为
，域上所有F-同构映射组成的群，称为galois群，即上所有自同构组成的群，记为)
。
环与域
环Ring
非空集合中有两个二元运算，加法＋和乘法*，如果满足：
-
)
是abel群；
-
)
是半群，即乘法仅满足封闭和结合律；
- 加法和乘法满足分配率，即
，有%3Da%20%5Ccdot%20b%20%2B%20a%20%5Ccdot%20c)
。
则称)
为一个<font color=red>环Ring</font>。
S为R的子环的充要条件：R的乘法单位在S中，S对于减法封闭，S对于乘法封闭。
理想Ideals
为环，非空子集
满足
-
是abel群的子群，ie. 对于减法封闭：
-
中对环中的任意元素乘法封闭，ie.
真理想：若I是环R的理想，且I是R的真子集，I称为R的真理想。
极大理想(maximal ideal)：环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的真子集。
主理想(principal ideal)：若环的理想
满足
如果所有的理想都是主理想，则称为主理想环。
整环（Integral domain），指含乘法单位元的无零因子的交换环。
单环（simple ring）：在非无零因子环中，若零理想是其极大理想，称该环为单环。
域Field
非空集合中有两个二元运算，加法＋和乘法*，如果满足：
-
)
是abel群；
-
)
是abel群，即去掉加法单位0后的集合
是交换群；
- 加法和乘法满足分配率，即，有。
则称)
为一个<font color=red>域Field</font>。
域比环多了乘法的单位、逆、交换。
，即左陪集
则
，也可以说同一个元素不可能同时属于两个陪集。
，
。
