我手里拿着一根细线.将它拉直绷紧.
“同学们,这根细线在数学上叫什么名称?”
“直线.”
“线段.”
学生争执着.
“要确定是直线还是线段,必须根据直线和线段的定义进行判定.”我放低声音,“直线与线段有什么不同的特点呢?”
“直线没有端点,线段有两个端点.老师手里捏着的线头相当于端点.”一个学生抢着话题,“因此我判定老师手拿的细线是线段.”
“直线无限长,线段的长度能够测量出来.”另一个学生也抢着说,“老师手里拿着的细线能测量出长度,它就是线段.”
知识愈辩愈明.辩论本身是民主,更是学生探究知识的过程.
“老师,我以为直线这个定义不够准确,”一个学生抢过话题，“直的反义词是曲,只要是不弯曲的线都应该叫做直线,为什么非得规定直线必须无限长呢?”
“这个学生爱动脑子,提的问题非常棒!”我向他伸出大拇指,“直线无限长的特点是数学书上规定的。对于无限长的标准书上没有明确界定.如果说重量2千克的鱼是大鱼,那么1.999千克的鱼算不算大鱼呢?从地球到太阳的距离也是可测量的，人类已知的宇宙直径只有13O亿光年。”
那个学生的目光带着疑惑.
“凡是用数字表达的距离都不能算作无限长.人们在规定概念的同时也在创设矛盾、自作茧缚。”我话锋一转,“其实,数学上的无限长表现为两点:眼里和心上,眼睛看不到边际或心里想着没有边际的都可以称做无限长.”
这回学生懂了.
对于直线定义也必须让学生明白。
我用手指着黑板的两条对边:
“黑板的两条对边是两条——”
“直线.”
“你们也说是直线,”我笑了,同学们也笑了,“这里的直线指的就不是数学定义上的直线,而是生活中的不弯曲的线.”
“可以说线段是从直线上截取的一部分.还可以说射线是直线的一部分.但绝对不可以说直线是射线长的2倍.因为数学上只要两者存在对应关系，我们都可以说这两者存在对等关系.因此,我们绝对不能说直线和射线谁短谁长。”我感觉学生仍存疑惑,就接着说,“再举个例子,自然数分为偶数和奇数,那么我们说自然数的个数多还是偶数的个数多?”
“大概是自然数吧.”一个学生犹豫着.
我在黑板上很快的写下如下数据:
自然数: 0 1 2 3 4 …… n ……
偶 数: 0 2 4 6 8 ……2n ……
“只要存在一个自然数,就有一个偶数与这个自然数对应着,也就是说偶数与自然数的个数同样多.现在我们应该明白射线与直线无法比较长短了吧.”
我在黑板上画了一条直线，并在直线上点上一个点。
“谁说一说点与直线的关系?”
“老师画的点在直线上,还可以把点点到直线外,”一个学生回答,“点和直线的关系有两种,一种是直线上有点,另一种是直线外的点.”
我又在直线上方点了一个点.
“从点到直线可以画几条线段?”
“无数条.”学生在演草纸上画着.
“点到直线可以画几条垂线?”
“一条.”学生反复比较.
“点到直线的所有线段中,有没有最短的?”
“垂线最短.”学生顿悟.
我过点做了一条直线与已画的直线平行.
“两条直线存在什么关系?”我提问.
“平行.”
“重合.”
“相交.”
“总结的很棒!”
激励与表扬是催化剂.
“同学们想想,过直线外一点向这条直线能做多少条平行线?”
“应该是一条.”一个学生回答.
“我们小学阶段学的是欧式几何,就是古希腊数学家欧几里得在总结前人数学知识的基础上建构的几何学知识体系.”我接着说,“这个几何体系的基础源自五条公理和五个公设.其中第五公设令敏感的数学家质疑.罗巴切夫斯基采用欧式几何中除平行公设以外的全部公理推演出罗氏平行公理:存在直线ι,经过ι外一点P而不与ι相交的直线有两条.罗巴切夫斯基据此构建了罗氏理论体系.黎曼假设过直线ι外一点P,做的所有直线均与该直线相交.从而推出一种既不同于欧式几何,也不同于罗氏几何的黎曼几何学.”
“任何理论都需要不断的完备.因为一个理论的真实性只可能在其自身的理论体系内不断完善.”
“说的有点深了,”我发现学生不能接受这些理论,“咱们还说线段.”
我在黑板上画了一条线段,问:
“同学们,我画的这条线段,它有两个端点.”我在线段旁边写了两个数字:2和1.
在这条线段上方我又点了一个点,问:
“现在可以画几条线段?”
有的学生说两条,有的学生说三条,经过辩论,学生达成一致意见:三条线段.我在刚才的数字下方依次写上3和3.
我又在线段旁边点上一个点。
“现在可以画几条线段?”
学生情绪高涨,经过反复核查、最后确定是六条线段.我在黑板上面出出4和6.
我再在线段旁点上一个点:
“现在可以画几条线段?”
聪明的学生开始寻找规律.
……
讲述中，我在黑板上写上如下的板书:
端 点 数：2 3 4 5 6 ……
线段条数：1 3 6 10 15 n（n＋1）÷2
“过点做线段，点数与可做线段条数的关系可用字母公式这样表示。”
an＝n（n＋1）÷2 (n≥2)
课堂上,让学生记住多少知识并不重要,重要的是让学生享受探究知识带来的乐趣.学生的进步源自于对过程探索的乐趣.
享受探究知识的过程与乐趣远比掌握知识本身更重要!
