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前言：
贝塞尔曲线又称贝兹曲线，它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。最初由保罗·德卡斯特里奥（Paul de Casteljau）于1959年运用德卡斯特里奥演算法开发（de Casteljau Algorithm），在1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表。目前广泛应用于图形绘制领域来模拟光滑曲线，为计算机矢量图形学奠定了基础。在一些图形处理软件中都能见到贝塞尔曲线，比如CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”；Photoshop中叫“钢笔工具”。下图为Photoshop中用钢笔绘制的贝塞尔曲线，共绘制了三条贝塞尔曲线：
Bézier curve
数学表达
术语：数据点、控制线、控制点、德卡斯特里奥算法、一阶，二阶，三阶，n阶……
数据点：一条贝塞尔曲线的起始点和终结点都叫数据点。
控制线：在图中可以看到那条中心点为数据点的线段，每个数据点对应一条控制线
控制点：就是控制线的端点，通过控制线随着控制点的变化而变化；数据点和控制点决定一条贝塞尔曲线。
-
一阶贝塞尔曲线：其实是一条直线段，没有控制点。
一阶贝塞尔曲线示意图
一阶贝塞尔曲线公式
-
二阶贝塞尔曲线：图中第二段为二阶贝塞尔曲线，只有一个控制点，即只有一个控制点和两个数据点来决定曲线形状。
二阶贝塞尔曲线示意图.gif
二阶贝塞尔曲线公式
二阶公式推导：
二阶贝塞尔曲线t=0.6示意图.gif
根据控制点和数据点，对贝塞尔曲线进行约束，满足的条件为
满足条件
问题变为：已知P0(x0,y0), P1(x1,y1), P2(x2,y2)，根据上式求P点坐标？
先求出A、B点坐标，其坐标
PA=P0+(P1-P0)·t
PB=P1+(P2-P1)·t
之后求P点坐标，其坐标
P=PA+(PB-PA)·t
P=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2， t∈[0,1]
- 三阶贝塞尔曲线：图中第三段为三阶贝塞尔曲线，有两个控制点和两个数据点决定的曲线，同样满足等比条件：
三阶贝塞尔曲线
三阶贝塞尔曲线公式
德卡斯特里奥算法的思想：给定数据点和控制点P0、P1…Pn，首先将数据点和控制点连接形成一条折线，计算出每条折线上面的一点，使得初始数据点（初始控制点）到该点的距离与初始数据点（初始控制点）到终止数据点（终止控制点）的距离之比为t:1。将这些点连接起来形成新的折线（折线少了一段），用递归的算法继续计算，指导只有两个点，在这两个点形成的线段上去一点，满足以上的比例关系。随着t的从0到1的变化，该点的集合形成了贝塞尔曲线。
n阶贝塞尔曲线公式如下。
n阶贝塞尔曲线公式
Android中的应用
对android中如何获取贝塞尔曲线上的点，如何绘制贝塞尔曲线，以及结合贝塞尔曲线的知识做出的效果进行分析。
1. 获取贝塞尔曲线上点的坐标
在android中并没有直接获取的方法，因此需要利用上面的公式进行计算，以二阶贝塞尔曲线为例，获取51个点，主要是t从0开始到1间取51项的等差数列：
public class MainActivity extends AppCompatActivity {
private static final float mPointNum = 50f;
@Override
protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
super.onCreate(savedInstanceState);
setContentView(R.layout.activity_main);
init();
}
private void init() {
PointF mStartPoint = new PointF(0, 0);
PointF mEndPoint = new PointF(0, 1200);
PointF mControlPoint = new PointF(500, 600);
List<PointF> mPointList = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i <= mPointNum; i++) {
mPointList.add(getBezierPoint(mStartPoint, mEndPoint, mControlPoint, i / mPointNum));
Log.d("Bezier", "X:" + mPointList.get(i).x + " Y:" + mPointList.get(i).y);
}
}
private PointF getBezierPoint(PointF start, PointF end, PointF control, float t) {
PointF bezierPoint = new PointF();
bezierPoint.x = (1 - t) * (1 - t) * start.x + 2 * t * (1 - t) * control.x + t * t * end.x;
bezierPoint.y = (1 - t) * (1 - t) * start.y + 2 * t * (1 - t) * control.y + t * t * end.y;
return bezierPoint;
}
}```
如果需要更高阶，可以使用递归函数来运算
```java
//用递归获取贝塞尔曲线点的x轴坐标
private float getBezierPointX(int n, int position, float t) {
if (n == 1) {
return (1 - t) * mPointList.get(position).x + t * mPointList.get(position + 1).x;
}
return (1 - t) * getBezierPointX(n - 1, position, t) + t * getBezierPointX(n - 1, position + 1, t);
}
//用递归获取贝塞尔曲线点的x轴坐标
private float getBezierPointX(int n, int position, float t) {
if (n == 1) {
return (1 - t) * mPointList.get(position).x + t * mPointList.get(position + 1).x;
}
return (1 - t) * getBezierPointX(n - 1, position, t) + t * getBezierPointX(n - 1, position + 1, t);
}
private ArrayList<PointF> buildBezierPoints() {
ArrayList<PointF> points = new ArrayList<>();
int order = mPointList.size() - 1;
float delta = 1.0f / POINT_NUM;
for (float t = 0; t <= 1; t += delta) {
// Bezier点集
points.add(new PointF(getBezierPointX(order, 0, t), getBezierPointY(order, 0, t)));
}
return points;
}
2. 绘制贝塞尔曲线
Android 中的Path类可以直接绘制一阶到三阶的贝塞尔曲线，在onDraw(Canvas canvas) 方法中使用:
- 绘制一阶贝塞尔曲线：
canvas.drawLine(start.x,start.y,end.x,end.y);```
* 绘制二阶贝塞尔曲线：
```java
mPath.moveTo(startPoint.x, startPoint.y);//起点
mPath.quadTo(controlPoint1.x, controlPoint1.y, endPoint.x, endPoint.y);
canvas.drawPath(mPath, mPaint);```
* 绘制三阶贝塞尔曲线：
```java
mPath.moveTo(startPoint.x, startPoint.y);//起点
mPath.cubicTo(controlPoint1.x, controlPoint1.y, controlPoint2.x, controlPoint2.y, endPoint.x, endPoint.y);
canvas.drawPath(mPath, mPaint);```
* 绘制n阶贝塞尔曲线
n阶贝塞尔曲线绘制，需要结合递归函数，设定一条曲线由多少个点组成，通过循环获取每个点的坐标进行绘制。
### 3.Demo
贝塞尔曲线在android中最常用的是做出一些动画特效，如QQ消息数拖拽形变效果，一些炫酷的下拉刷新控件，阅读软件的翻书效果，一些平滑的折线图的制作，某图片的运动轨迹等……
##### 3.1 形状变形
只需要知道变形前和变形后图形的数据点和控制点即可，通过改变数据点和控制点使得形状发生改变。
初始化
```java
private float[] mData = new float[8]; // 顺时针记录绘制圆形的四个数据点
private float[] mCtrl = new float[16]; // 顺时针记录绘制圆形的八个控制点
private float mDuration = 1000; // 变化总时长
private float mCurrent = 0; // 当前已进行时长
private float mCount = 100; // 将时长总共划分多少份
private float mPiece = mDuration / mCount; // 每一份的时长```
在onDraw(Canvas canvas)方法中绘制
```java
path.reset();
path.moveTo(mData[0], mData[1]);
path.cubicTo(mCtrl[0], mCtrl[1], mCtrl[2], mCtrl[3], mData[2], mData[3]);
path.cubicTo(mCtrl[4], mCtrl[5], mCtrl[6], mCtrl[7], mData[4], mData[5]);
path.cubicTo(mCtrl[8], mCtrl[9], mCtrl[10], mCtrl[11], mData[6], mData[7]);
path.cubicTo(mCtrl[12], mCtrl[13], mCtrl[14], mCtrl[15], mData[0], mData[1]);
canvas.drawPath(path, mPaint);
mCurrent += mPiece;
if (mCurrent < mDuration) {
mData[1] -= 120 / mCount;
mCtrl[7] += 80 / mCount;
mCtrl[9] += 80 / mCount;
mCtrl[4] -= 20 / mCount;
mCtrl[10] += 20 / mCount;
postInvalidateDelayed((long) mPiece);
}
3.2 漂浮的爱心
爱心的漂浮轨迹就是一条三阶贝塞尔曲线，结合属性动画中的估值器进行设置。
漂浮的爱心
- 首先定义一个属性动画的估值器
public class BezierEvaluator implements TypeEvaluator<PointF> {
private PointF mControlP1;
private PointF mControlP2;
public BezierEvaluator(PointF controlP1, PointF controlP2) {
this.mControlP1 = controlP1;
this.mControlP2 = controlP2;
}
@Override
public PointF evaluate(float time, PointF start, PointF end) {
float timeLeft = 1.0f - time;
PointF point = new PointF();
point.x = timeLeft * timeLeft * timeLeft * (start.x) + 3 * timeLeft * timeLeft * time *
(mControlP1.x) + 3 * timeLeft * time *
time * (mControlP2.x) + time * time * time * (end.x);
point.y = timeLeft * timeLeft * timeLeft * (start.y) + 3 * timeLeft * timeLeft * time *
(mControlP1.y) + 3 * timeLeft * time *
time * (mControlP2.y) + time * time * time * (end.y);
return point;
}
}```
* 之后自定义一个view可以生成爱心，添加透明度，缩放等动画和根据贝塞尔曲线改变其位置的属性动画。
初始化爱心图片和多个插值器等，到时随即选取
```java
private void init() {
// 初始化显示的图片
drawables = new Drawable[3];
drawables[0] = getResources().getDrawable(R.drawable.red);
drawables[1] = getResources().getDrawable(R.drawable.yellow);
drawables[2] = getResources().getDrawable(R.drawable.green);
// 初始化插补器
mInterpolators = new Interpolator[4];
mInterpolators[0] = new LinearInterpolator();// 线性
mInterpolators[1] = new AccelerateInterpolator();// 加速
mInterpolators[2] = new DecelerateInterpolator();// 减速
mInterpolators[3] = new AccelerateDecelerateInterpolator();// 先加速后减速
// 底部 并且 水平居中
dWidth = drawables[0].getIntrinsicWidth();
dHeight = drawables[0].getIntrinsicHeight();
lp = new LayoutParams(dWidth, dHeight);
lp.addRule(CENTER_HORIZONTAL, TRUE);// 这里的TRUE 要注意 不是true
lp.addRule(ALIGN_PARENT_BOTTOM, TRUE);
}```
入场动画
```java
private AnimatorSet getEnterAnimator(final View target) {
ObjectAnimator alpha = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.ALPHA, 0.2f, 1f);
ObjectAnimator scaleX = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.SCALE_X, 0.2f, 1f);
ObjectAnimator scaleY = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.SCALE_Y, 0.2f, 1f);
AnimatorSet enter = new AnimatorSet();
enter.setTarget(target);
enter.setInterpolator(new LinearInterpolator());
enter.setDuration(500).playTogether(alpha, scaleX, scaleY);
return enter;
}```
贝塞尔曲线动画
```java
private ValueAnimator getBezierValueAnimator(final View target) {
// 初始化贝塞尔估值器
BezierEvaluator evaluator = new BezierEvaluator(getPointF(2), getPointF(1));
// 起点在底部中心位置，终点在底部随机一个位置
ValueAnimator animator = ValueAnimator.ofObject(evaluator, new PointF((mWidth - dWidth) /
2, mHeight - dHeight), new PointF(random.nextInt(getWidth()), 0));
animator.setTarget(target);
animator.addUpdateListener(new ValueAnimator.AnimatorUpdateListener() {
@Override
public void onAnimationUpdate(ValueAnimator valueAnimator) {
// 这里获取到贝塞尔曲线计算出来的的x y值 赋值给view 这样就能让爱心随着曲线走啦
PointF pointF = (PointF) valueAnimator.getAnimatedValue();
target.setX(pointF.x);
target.setY(pointF.y);
// alpha动画
target.setAlpha(1 - valueAnimator.getAnimatedFraction());
}
});
animator.setDuration(3000);
return animator;
}
结合动画添加爱心
public void addHeart() {
final ImageView imageView = new ImageView(getContext());
// 随机选一个爱心
imageView.setImageDrawable(drawables[random.nextInt(3)]);
imageView.setLayoutParams(lp);
addView(imageView);
AnimatorSet finalSet = new AnimatorSet();
AnimatorSet enterAnimatorSet = getEnterAnimator(imageView);//入场动画
ValueAnimator bezierValueAnimator = getBezierValueAnimator(imageView);//贝塞尔曲线路径动画
finalSet.playSequentially(enterAnimatorSet, bezierValueAnimator);
finalSet.setInterpolator(mInterpolators[random.nextInt(4)]);
finalSet.setTarget(imageView);
finalSet.addListener(new AnimatorListenerAdapter() {
@Override
public void onAnimationEnd(Animator animation) {
super.onAnimationEnd(animation);
removeView((imageView));//删除爱心
}
});
finalSet.start();
}
