环的自然同态

不定方程 $x^2 - 3y^2 = 992$ 没有整数解。
这个比较明显，用同余类的方法很容易看出这点——如果方程有整数解，那么方程左边和右边必须模3同余，因为 $992 \equiv2\bmod{3}$
所以必有 $x^2 - 3y^2 \equiv 2 \bmod{3}$ , 3 可以整除 $3y^2$ 所以， $x^2\equiv 2 \bmod 3$
对 $x$ 按模3分类，有三种状况 $x=3k, x = 3k + 1, x = 3k + 2$ , 那么 $x^2$ 分别是 $9k^2, 9k^2 + 6k + 1, 9k^2 + 12k + 4$ , 这三种情况模3的余数只能是 0或1，不可能是2.
所以方程不会存在整数解

在高等代数中，可以用一种叫做自然同态的方法来说明
首先，环有一种特别的子环叫做理想。理想 $I$ 的特性是对于母环 $R$ 中的任何元素 $r \in R$ , 及 $s\in I$ , 满足 $rs \in I, sr \in I$ ——这样写是因为，环并不默认一定是乘法交换， $rs, sr$ ,未必相同，也就是乘法运算不会讲理想中的运算“运出”界外，当然作为代数结构而言，所谓乘法是更一般化的乘法，在环中，它是指满足分配律角色在加群基础上施加的那个额外的运算，而非一般数集上特定的乘法。
作为例子，整数在通常的加法和乘法上是一个环 , 记号 $(I, +, ×)$ 对于任意的一个 n , 可以从n导出一个理想 $A=(n)$ , $(n) = \{kn | , k \in I\}$ ，这个集合就是n的倍数集，无论左乘还是右乘任何数，它不会出现出界的状况，在理想上建立陪集
$a + A, b + A$ , 如果 $a\ne b$ , 一般 ${a + A }\cap {b + A} = \emptyset$
这一点可以用下面启发说明
设群 $H$ 是群 $G$ 的子群， $a \in G, b\in G$
若 $aH \cap bH \ne \emptyset$ , 假设 $g$ 是一个相交的元素，这样存在 $h_1, h_2$ 使得
$g = ah_1 = bh_2$ , 即 $b^{-1}a = h_1h_2^{-1} \in H$ ,
任取 $x \in aH, x = ah^{'}, h^{'} \in H$ , 因为 $a = bh_2h_1$ ,
所以 $x = ah^{'} = b(h_2h_1h^{'}) \in bH$ ，所以 $aH \subset bH$ , 同理可以证明 $bH \subset aH$ , 这表明 $aH = bH$
表明一旦 $aH \cap bH$ 不空，就意味着两个集合相等
再添上一个条件 $Ha = aH, a \in G$ ，把这种子群成为正规子群，然后基于正规子群构建陪集群，就得到G对H的商群 $G/H$

$b^{-1}a \in H$ 实际上蕴含着一个等价关系，这个等价关系把群划分成一组互不相交的集合，这个集合构成一个新的集合，在上面定义陪集的运算，它就构成了一个商群 $G/H$

一般对于商群的运算 $\circ$ 定义成
$aH \circ bH = (ab)H$
那么 $(G/H, \circ)$ 构成一个群，单位元就是 $H$ , 每个 $aH$ 的逆元就是 $a^{-1}H$

商群概念之下，引出了一个群同态定理：
即满同态映射 $f: G \rightarrow H$ ，存在G的正规子群A,使得
$G/A$ 同构于 $H$ . 这个正规子群A 可以是同态映射 $f$ 的核 $kef(f) = \{x\in G | f(x) = e_H \}$ ,
$aH \circ aH$

扩展到环的情形，环同态映射也有一样的核，它是 $G$ 上的理想，因而在商环的加法之外可以增加一个新的运算 $\#$
$(a + A) \# (b + A) = (a \cdot b) + A$
环 $R$ 相对于理想 $kef(f)$ 的商环也同构于 $S$ (这里的context指的是 f 是从 $R$ 映到 $S$ 的满同态映射)

在整数环 $(I, +, \cdot)$ 上的一种叫做自然同态的映射:
$\varphi: I \rightarrow R/A \\ \varphi(m) = m + A$

这个自然同态可以把整数上的事，转到其商环上来考虑，商环的元素一般更少。

回到上面的不定方程 $x^2 - 3y^2 = 992$
我们可以考虑 3 生成的理想 $A = (3)$ ，也就是整数模3得到的一个商集
实际上 (3) 就是 $\{3n| n \in I\} = \{..., -12,-9,-6,-3,0,3,6,12,...\}$
那么 $I/(3) = \{(3), 1 + (3), 2 + (3)\}$

准备这些以后，在方程中施加自然同态映射，把整数的加乘转为商环上的加乘
假设有 $m, n \in I$ 满足方程 $x^2 - 3y^2 = 992$
于是 $\varphi(992) = 992 + (3) = 2 + (3)$ ,
$\varphi(m^2-3n^2) = \varphi(m^2) - \varphi(3n^2) = (m^2 + (3) )- (3n^2 + (3))$
$3n^2 + (3) = (3 + (3)) \circ (n^2 + (3)) = (3)$ 为什么？，因为 $(3)$ 是 $I/(3)$ 的零元，任何元素乘它都是零元
而 $m^2 + (3) = (m + (3)) \circ (m + (3))$

于是得到 $m^2 + (3) = m^2 + (3) - (3) = \\ m^2 + (3) \# (3)^{-1}= \\ m^2 + (3) \# 0 + (3) = \\ (m^2 + 0) + (3) = \\ m^2 + (3) = (m + (3)) \circ (m + (3))$
即 $(m + (3)) \circ (m + (3)) = 2 + (3)$
但是商环 $I/(3)$ 中3个成员，无论哪个，两次幂都不是 $2 + (3)$
得出矛盾

总结

这个运用环自然同态来阐释不定方程没有解的方法，看起来有点高射炮打蚊子，笨重的工具远远不如初等的同余方法轻盈。但是代数方法看上去更加一般化，具有典型的意义。

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总结

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