连续
设
和
为两拓扑空间，一个函数
被称为连续的，如果对于中的任意开集
，我们有)
是中的一个开集。函数的连续性不仅取决于函数本身，也取决于定义域和值域的拓扑结构。
如果由基
生成，那么中的任意开集可以写成
，其逆映射可以写成%3D%5Cbigcup_%7B%5Calpha%20%5Cin%20J%7D%20f%5E%7B-1%7D(B_%5Calpha))
。因此，为了证明函数
是连续的，只需要证明对于所有的基元素
，)
在中是开集。同理我们可以说明，如果由子基生成，那么只需要证明所有的子基的逆映射在中是开集。
在微积分中，我们曾经使用
语言定义实数到实数上的连续函数。对于一个连续函数
，给定
和
，-%5Cvarepsilon%2Cf(x_0)%2B%5Cvarepsilon))
是实数轴上的开集，函数的连续性保证存在
，使得)
有：%5Csubset%20V)
。那么，)
。注意到
是一个基元素，因此属于该拓扑，即为开集。因此，语言定义的连续函数和在这里定理的连续函数并不矛盾。
对于连续性，我们有如下等价定理：
定理：设和是拓扑空间，是一个函数，则以下说法等价：
-
是连续函数
- 对于任意
，有 %20%5Csubset%20%5Coverline%7Bf(A)%7D)
- 对于任意闭集
，是中的闭集
- 对于任意
和任意)
的邻域，存在一个
的邻域
，使得%5Csubset%20V)
注：如果 4. 对某点成立，我们说在处连续。
同胚
设和为两拓扑空间，为双射。如果和
均连续，那么为一个同胚。
不难看出，对于一个同胚，)
是开集当且仅当是开集。因此，同胚不仅仅是定义在两个拓扑空间元素上的对应，也是定义在两个拓扑空间的开集的集合（即拓扑）上的对应。因此，上定义的能完全被拓扑决定的性质，经过同胚映射，在上也会有相应的性质。这些性质被称为拓扑性质。
在抽象代数中，同构是两个代数对象（例如群、环）之间的能够保留代数结构的双射。类似的，在拓扑中，同胚是两个拓扑空间之间的能够保留拓扑结构的双射。
设和为两拓扑空间，为单射。令
为在下的像集，则可以作为的一个子空间。令
为限制值域到的映射，则
是一个双射。如果正好是一个同胚，那么称为到的拓扑嵌入，简称为嵌入。
构造连续函数
定理（连续函数构造法则）：设
为三个拓扑空间，则：
-
将中所有元素映射到单点
，则连续
- 如果是的子空间，则内含函数
连续
- 如果和
都连续，那么
连续
- 如果连续，
，则
连续
- 如果连续，
，那么 
连续
- 如果连续，
%5Csubset%20Z%20%5Csubset%20Y)
，那么 连续
- 如果
开集且
连续，则连续
对于 7，我们在闭集下也有类似的定理：
定理（粘接引理）：令
，其中
和为中的闭集。令
和
均连续，如果%3Dg(x)%2C%5Cforall~x%5Cin%20A%5Ccap%20B)
，定义
：
%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20f(x)%2C~~x%5Cin%20A%20%5C%5C%20g(x)%2C~~x%5Cin%20B%20%5Cend%7Bcases%7D)
则
连续。
该定理给出了一种“拼接”构造连续函数的方式。
定理：令
为：%3D(f_1(a)%2Cf_2(a)))
，那么是连续函数当且仅当
和
均为连续函数。我们把
和
称为的坐标函数。
但是，反过来说，对于
，我们并没有一般的准则去判断是否为连续函数。
