#### 43. 字符串相乘
给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。
示例 1:
输入: num1 = "2", num2 = "3"
输出: "6"
示例 2:
输入: num1 = "123", num2 = "456"
输出: "56088"
说明：
num1 和 num2 的长度小于110。
num1 和 num2 只包含数字 0-9。
num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。
不能使用任何标准库的大数类型（比如 BigInteger）或直接将输入转换为整数来处理。
方法一：普通竖式
思路
竖式运算思想
遍历 num2 每一位与 num1 进行相乘，将每一步的结果进行累加。
注意：
num2 除了第一位的其他位与 num1 运算的结果需要 补0
计算字符串数字累加其实就是 415. 字符串相加
实现
class Solution {
/**
* 计算形式
* num1
* x num2
* ------
* result
*/
public String multiply(String num1, String num2) {
if (num1.equals("0") || num2.equals("0")) {
return "0";
}
// 保存计算结果
String res = "0";
// num2 逐位与 num1 相乘
for (int i = num2.length() - 1; i >= 0; i--) {
int carry = 0;
// 保存 num2 第i位数字与 num1 相乘的结果
StringBuilder temp = new StringBuilder();
// 补 0
for (int j = 0; j < num2.length() - 1 - i; j++) {
temp.append(0);
}
int n2 = num2.charAt(i) - '0';
// num2 的第 i 位数字 n2 与 num1 相乘
for (int j = num1.length() - 1; j >= 0 || carry != 0; j--) {
int n1 = j < 0 ? 0 : num1.charAt(j) - '0';
int product = (n1 * n2 + carry) % 10;
temp.append(product);
carry = (n1 * n2 + carry) / 10;
}
// 将当前结果与新计算的结果求和作为新的结果
res = addStrings(res, temp.reverse().toString());
}
return res;
}
/**
* 对两个字符串数字进行相加，返回字符串形式的和
*/
public String addStrings(String num1, String num2) {
StringBuilder builder = new StringBuilder();
int carry = 0;
for (int i = num1.length() - 1, j = num2.length() - 1;
i >= 0 || j >= 0 || carry != 0;
i--, j--) {
int x = i < 0 ? 0 : num1.charAt(i) - '0';
int y = j < 0 ? 0 : num2.charAt(j) - '0';
int sum = (x + y + carry) % 10;
builder.append(sum);
carry = (x + y + carry) / 10;
}
return builder.reverse().toString();
}
}
复杂度分析
时间复杂度：O(M N)。M,NM,N 分别为 num1 和 num2 的长度。
空间复杂度：O(M+N)。用于存储计算结果。
方法二：优化竖式
该算法是通过两数相乘时，乘数某位与被乘数某位相乘，与产生结果的位置的规律来完成。具体规律如下：
乘数 num1 位数为 M，被乘数 num2 位数为 N， num1 x num2 结果 res 最大总位数为 M+N
num1[i] x num2[j] 的结果为 tmp(位数为两位，"0x","xy"的形式)，其第一位位于 res[i+j]，第二位位于 res[i+j+1]。
结合下图更容易理解
class Solution {
public String multiply(String num1, String num2) {
if (num1.equals("0") || num2.equals("0")) {
return "0";
}
int[] res = new int[num1.length() + num2.length()];
for (int i = num1.length() - 1; i >= 0; i--) {
int n1 = num1.charAt(i) - '0';
for (int j = num2.length() - 1; j >= 0; j--) {
int n2 = num2.charAt(j) - '0';
int sum = (res[i + j + 1] + n1 * n2);
res[i + j + 1] = sum % 10;
res[i + j] += sum / 10; //加等于！！！
}
}
StringBuilder result = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < res.length; i++) {
//子串的最高位是0
if (i == 0 && res[i] == 0) continue;
result.append(res[i]);
}
return result.toString();
}
}
复杂度分析
时间复杂度：O(M N)O∗(∗MN∗)。M,NM,N 分别为 num1 和 num2 的长度。
空间复杂度：O(M+N)O∗(M+N)。用于存储计算结果。
算法比较
算法 提交结果 执行用时 内存消耗 语言
普通竖式 通过 48 ms 43.8 MB Java
优化竖式 通过 4 ms 36.6 MB Java
虽然两者时间复杂度和空间复杂度相同，但优化竖式执行速度提高很明显，普通竖式耗时主要还是对每步计算的字符串相加这个过程。
