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今天呼噜继续和大家一起学习区块链安全盾之密码学及算法（2）——椭圆椭圆曲线ECC算法。

在正式开始复杂而高深的学习前，我们理解下数学上椭圆的有意思的一面。

所谓的一个椭圆曲线是满足一个特殊方程的点集，可用方程式y^2 = x^3 + ax + b表示。

也有其他椭圆曲线的代表，但学术上一个椭圆曲线是一个满足一个变量为二阶，另一个变量为3阶的二元方程。一个椭圆曲线不仅仅是一个漂亮的图片，它也有一些使它成为密码学的一个好环境的性能。

它有几个有趣的特性：

其中一个是水平对称。曲线上的任何点以X轴反射并且仍然是同样的曲线。一个更加有趣的特性是任何不垂直的线穿过曲线最多有三个交点。

让我们来把曲线想象成一个奇异的桌球游戏。取曲线上的任意两点并且把他们连起来；这条线与曲线有一个以上的交点。在这个桌球游戏里，你拿球从A射向B.当它撞上曲线，这个球向上反弹（它位于X轴以下）或者向下反弹到曲线的另一边。

我们把球移向两点叫“打点（dot）”。曲线上的任意两点能被同时打点得到一个新点。

A dot B = C

我们也能同时做一串移动来用它自己反复“打点"。

A dot A = B

A dot B = C

A dot C = D

...

事实证明如果你有两个点，一个最初的点用它自己打点n次到达一个最终点，在你只知道最重点时找到n和最初点是很难的。继续我们的奇异桌球比喻，想象一个人在一段任意时间里在一个房间里单独玩我们游戏。对他来说，他跟着上述规则来反复击球是容易的。如果一个人后来走进房间并且看到球最终的位置，即使他们知道这个游戏的所有规则和球的起点，在没有全程观察游戏直到球到达同一点的情况下，他们也不能算出球击打到那的次数。容易做，但很难解开。这就是一个非常棒的trapdoor函数的基础。

在密码理论中，椭圆曲线算法是一种非对程密码，也称公钥密码。

所谓非对程密码是指加密用的密钥和解密用的密钥不同，用作加密的称作私钥，需要保密，用作解密的称作公钥，顾名思义是公开的，并且从一个密钥不能推算出另一个密钥。目前使用最广泛的两种非对程密码为RSA和ECC，RSA历史悠久，签名较快，而验证较慢。相同密码强度而言，ECC密钥长度较短，效率更高。RSA基于大数分解问题，ECC基于椭圆曲线离散对数问题。

下面介绍这种算法的作用和描述。

1. 作用

计算一个或多个消息的摘要可以保证消息不会被更改（一旦更改就能发现），所以消息与摘要是一一对应的。但是如果攻击者有摘要算法，他就可以同时替换消息和摘要，如果只验证摘要是无法得知消息已被替换（更改），如何解决这一消息真实性的问题，这就是公钥密码的用途之一，其原理：

     （1）产生消息的人公开自己的密钥，然后用私钥对消息摘要进行加密（俗称签名），与消息、消息摘要、摘要签名一同发送给接收者；

      （2）发送者的公钥随处可得，接收者使用公钥对消息签名进行解密（验签），如果结果正确则消息真实性得到验证，从而对消息摘要进一步验证；如果结果错误则消息不可靠。

       （3）公钥是由权威机构产生的，并且可验证，所以替换公钥是不可能的。

2. 算法描述

        相比RSA，理解椭圆曲线密码算法的数学基础困难的多。首先了解几个概念。

        (1)  射影平面坐标系：它是对笛卡尔直角坐标系的扩展，增加了无穷远点的概念。在此坐标系下，两条平行的直线是有交点的，而交点就是无穷远点。两者的变换关系为：笛卡尔坐标系中的点a（x，y），令x=X/Z，y=Y/Z，则射影平面坐标系下的点a的坐标为（X， Y，Z），比如点（2，3）就转换为（2Z，3Z，Z）。

        (2)  椭圆曲线：一条椭圆曲线在射影平面上满足方程：Y^2Z+a1XYZ+a3yZ^2=X^3+a2X^2Z+a4XZ^2+a6Z^3的所有点的集合，且曲线上每个点都是非奇异的(连续的、可微分的)。该方程称为维尔斯特拉斯方程。椭圆曲线并非是一个椭圆，只是其方程形式类似一个计算椭圆周长的方程。

    （3）射影平面转换为直角平面：椭圆曲线有一个无穷远点（0：1：0），那么把可以计算出直角平面坐标系下的曲线方程：y^2+a1xy+a3y=x^3+a2x^2+a4x+a6。 这个方程代表的光滑曲线再加上一个无穷远点，就组成了椭圆曲线。

   （4）椭圆曲线一点切线的斜率：因为椭圆曲线平滑的，每一个点都有切线，斜率是切线的一个重要指标。它将在椭圆曲线密码算法中使用。

以上是初步的学习，更深的函数学习待下期进行。