• 贪心算法在每步取得局部最优解

1. Interval scheduling

1.1 问题描述

Interval scheduling 问题描述

• 目标：在没有工作冲突的情况下兼容最多的工作数;
• 工作的起始时间为 ，结束时间为.

1.2 问题分析

• Greedy template: 1. 对任务按某种规则排序；2. 根据已排好序的任务列表选择排序位置最靠前且不冲突的任务。
• 可以有如下4种排序方法：

1. 起始时间增序

   
   
   Counterexample for earliest start time
   
   

   有如上反例，若按start time，最多工作数为1，但实际情况为4，故不可行；

2. 结束时间增序；
3. interval length工作时长 增序；
   
   Counterexample for shortest interval
   
   有如上反例，最多工作数为1，但实际为2，故不可行；
4. 最少冲突工作数增序
   
   Counterexample for fewest conflicts
   
   有如上反例，深灰色工作冲突数为2，第一排浅灰色冲突数为3，最多工作数为3，但实际为4，故不可行。
   将工作按结束时间排序，依次选取与前面不冲突的工作。
   
   Interval scheduling pseudocode
   
   时间复杂度：排序是O(logn)，for循环O(n), O(nlogn)

1.3 证明最优

Proof of optimality

反证法：
假设贪心不是最优解：

• 令 是按贪心算法选择的工作序列；
• 令是最优解序列且前项工作与贪心序列相同；
  因为贪心序列是按结束时间排序的，现假设最优解O与贪心解A不同，故有；
• 将替换为,构造最优解O'，即将第个工作提前了，与前后工作都没有重叠，它也是最优解，因为最大工作数没变；
• 至此，我们证明了一个与A更接近的最优解O‘，它在前个工作上都与A一样，与前提最多只有前项相同矛盾，故A是最优解。

2. Scheduling to Minimize Lateness

2.1 问题描述

Scheduling to Minimize Lateness 问题描述

• 目标：每项任务有需要的时间和ddl，记所有任务中迟交最长的时间为，最小化。
  e.g. 上图中return结果为6

2.2 问题分析

先考虑如何排序

1. 所需时间增序
   
   counterexample for short processing time first
   
   有如上反例，job1无迟交，job2迟交1，return 1;实际上若交换两个工作位置，return 0；
2. ddl时间增序
3. 最迟开始时间增序
   
   counterexample for smallest slack
   
   将工作按ddl时间增序
   
   Sort jobs by deadline

2.3 证明最优

Exchange argument:通过交换元素将最优解转换为贪心解，但还保持最优性

Minimizing Lateness: Inversions

• 一个inversion定义为一对工作 和，但却排在之前；
  Observation1:因为贪心解按ddl时间点排序，所以贪心解不存在inversion;
  Observation3:如果存在inversion,必然存在相邻的两个工作存在inversion.
  
  
  有结论：交换相邻的一对inverted jobs，并不会增大最大迟交时间。
  证明：
• 交换后，若最大迟交时间增大，只可能是因为 ，因为提前了，延后了。
• 令为交换前的最大迟交之间，为交换后的
• 
• 
• 如果迟交了，有
  
  Proof of inversions
  
  ，即最大迟交时间不变
  下面证明贪心法最优：
  反证法：
  假设S*是最优解，且有最少的inversions (即构造了和贪心解最像的最优解）
• 若S* 没有inversions,S* = A;
• 若S*有inversions, 令{i, j} 是这对相邻的inversion：交换i,j 最大迟交没有增加，且更像贪心解A；
• 与假设的定义矛盾，故A是最优解。
  时间复杂度： Θ(N log N) （due to sorting）

3. Optimal Caching

3.1 问题描述

Optimal Caching 问题描述

当cache中不存在所需元素时，需要访问cache交换元素。
目标：cache misses的次数最少

3.2 问题分析

Optimal Offine Caching: Farthest-In-Future

最优算法：cache miss时替换当前future queries中最远访问的元素。
e.g. future queries中第一个元素g出现cache miss, 需要exchange，判断current cache中需要替换哪个元素。
在future queries中

• a：第2个出现；
• b：第3个出现；
• c：第4个出现；
• d：第6个出现；
• e：第5个出现；
• f：第15个出现；
  Exchange f and g

3.3 证明最优

思路：构造最优规划，它有最小的cache misses次数；Farthest-In-Future规划,两者在前个请求的序列是相同的，如果能证明在第步时，可以转化为并且没有增加cache misses的次数，则可以说明是最优解。
最开始，假设和中元素如下：

	abcd
	abcd

Case 1: 元素已经在Cache中
假设下一个请求的元素是d显然两者都不会发生cache miss，故两者总的cache misses次数还是相同；

	abcd
	abcd

Case 2: 元素不在Cache中，和与外界交换相同的元素
假设下一个请求的元素是e,两者都用a与其交换，有

	ebcd
	ebcd

和都增加了一次cache misses，故总cache misses次数还是相同；
Case 3: 元素不在Cache中，和与外界交换不同的元素
假设下一个请求的元素是e,交换a,交换b,有

	aecd
	ebcd

之后，下一个请求的元素有四种情况：
Case 3a: 元素在中, 不在中; S交换a
也就是请求b,这时S用a交换b,有

	ebcd
	ebcd

有两次cache misses，而只有一次，之后和序列又保持一致；
Case 3b: 元素在中, 不在中; S不交换a
也就是请求b，S用c交换b，有

	abde
	ebcd

用a交换c，有

	abde
	abde

两者cache misses次数相同，之后和序列又保持一致
Case 3c: 元素在中, 不在中
即请求a，这种情况不可能发生，因为S_{FF}移出的是最远需要的元素，即request中a会排在b之后；
Case 3d: 元素不在和中
假设请求f,用a交换f, 用b交换f,有

	cdef
	cdef

两者cache misses次数相同，之后和序列又保持一致
的cache misses次数不会多于最优解, 即是最优解。

4. Clustering of Maximum Spacing

4.1 问题描述

Clustering of Maximum Spacing 问题描述

4.2 问题分析

Clustering of Maximum Spacing 问题分析

Single-link k-clustering 算法：

• 现有含n个cluster的一张图；
• 找到在不同集合中距离最近的一对点，在它们之间连线，
• 重复n-k次，就会得到k个clusters
• 这个过程相当于删掉最小生成树中k-1条最长的边；

4.3 证明最优

• 假设是从最小生成树中删去k-1条最长边后形成的k个clusters集合（）,有最大的max spacing
• 假设是其它的clustering集合：
• 的spacing定义为第k-1条最长边的长度；
• 是两点，它们在中在同一个集合，但是在的不同集合和中;
• 假设（)路径中的两点定义了和之间的spacing，这个spacing ,所以最优。