高数学习笔记7——什么是微分

何为微分？

微分其实是对函数的一种线性表示吧。在自变量足够小的时候，用 $x$ 在反应 $f(x)$ 值时如何改变的。

（以我的理解来说微分其实就是在自变量 $x$ 变化极小的区间内，用线性函数表示非线性函数，用一种简单的函数在误差允许的范围内（无穷小部分）取代复杂函数）

关于微分的函数形式可以分为两部分：

第一部分（线性部分）：在一维情况下，表示为自变量的变化率只与 $f$ 和 $x$ 有关量的乘积。

第二部分（非线性部分）：是比自变量的变化率更高阶的无穷小部分，也就是说，当自变量的变化率极小时，可以忽略不计。

函数的变化率约等于第一部分，也就是函数在 $x$ 处的微分。

一元微分

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 内有定义。对于 $I$ 内任意一点 $x$ ，当 $x$ 移动到 $x+\Delta x$ (也在此区间内)，函数的增量为 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ ,可表示为 $\Delta y=Ax+\omicron (\Delta x)$ 。

Ⅰ、 $\Delta x=dx$ 。

Ⅱ、 $\omicron （\Delta x）$ 为高阶无穷小，忽略不计。也就是坐标系中，在 $x+\Delta x$ 处，黄色曲线与蓝色曲线之间的部分。

微分与导数的关系

虽然导数和微分是两个概念，但对一元函数来说，两者可以划等号。

微分中无穷小忽略以后，微分和无穷小都可以用 “ $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ”在表示，所以二者可以划等号。

关于 $dx$ 的计算

$d(F(x))=f(x)dx$ , $f(x)$ 是 $F(x)$ 的导函数。

如： $d(\ln x )=(\frac{1}{x})dx$ 。

复合函数的微分法则

设 y=f(u), u=g(x)都可导，则复合函数 $y = f[ g(x) ]$ 的微分为：

dy = f[ g(x) ]'dx = f’(u)g’(x)dx