本题考察的是最大子序列和

题目描述

在一条环路上有 N 个加油站，其中第 i 个加油站有汽油 gas[i] 升。
你有一辆油箱容量无限的的汽车，从第 i 个加油站开往第 i+1 个加油站需要消耗汽油 cost[i] 升。你从其中的一个加油站出发，开始时油箱为空。
如果你可以绕环路行驶一周，则返回出发时加油站的编号，否则返回 -1。
说明:
如果题目有解，该答案即为唯一答案。
输入数组均为非空数组，且长度相同。
输入数组中的元素均为非负数。

示例 1:
输入:
gas = [1,2,3,4,5]
cost = [3,4,5,1,2]
输出: 3
解释:
从 3 号加油站(索引为 3 处)出发，可获得 4 升汽油。此时油箱有 = 0 + 4 = 4 升汽油
开往 4 号加油站，此时油箱有 4 - 1 + 5 = 8 升汽油
开往 0 号加油站，此时油箱有 8 - 2 + 1 = 7 升汽油
开往 1 号加油站，此时油箱有 7 - 3 + 2 = 6 升汽油
开往 2 号加油站，此时油箱有 6 - 4 + 3 = 5 升汽油
开往 3 号加油站，你需要消耗 5 升汽油，正好足够你返回到 3 号加油站。
因此，3 可为起始索引。

示例 2:
输入:
gas = [2,3,4]
cost = [3,4,3]
输出: -1
解释:
你不能从 0 号或 1 号加油站出发，因为没有足够的汽油可以让你行驶到下一个加油站。
我们从 2 号加油站出发，可以获得 4 升汽油。 此时油箱有 = 0 + 4 = 4 升汽油
开往 0 号加油站，此时油箱有 4 - 3 + 2 = 3 升汽油
开往 1 号加油站，此时油箱有 3 - 3 + 3 = 3 升汽油
你无法返回 2 号加油站，因为返程需要消耗 4 升汽油，但是你的油箱只有 3 升汽油。
因此，无论怎样，你都不可能绕环路行驶一周。

题目思考

我们假设汽车从第n-1个加油站刚刚开到第n个加油站并且没有在该加油站加油时剩余的油量是remain[n-1]，则汽车能开到第n个加油站的条件是remain[n-1]>0。

假设汽车从第m个加油站开始，刚刚到第m+1个加油站时的剩余油量是remain[m]=gas[m]-cost[m]，因此汽车能从m开始，开到m+1个加油站的条件就是gas[m]-cost[m]>0。汽车继续开，能开到第m+1个加油站的条件是(gas[m]-cost[m])+(gas[m]-cost[m])>0。开到剩下的加油站也是如此。

我们可以计算序列dev[n]=gas[n]-cost[n]。环路上一共有N个加油站，那么汽车能从第m个加油站开始，循环一周的条件就是：dev[m]+dev[m+1]+...+dev[m-1]>=0，并且任意的0<=m<N，dev[m]>=0恒成立。

有了以上的分析，我们就可以把问题简化了：先计算下序列dev[n]=gas[n]-cost[n]，找出是否存在 i，使公式：dev[i]+dev[i+1]+...+dev[i-1]>=0，并且任意的0<=m<N，dev[m]>=0恒成立。i 就是我们求的开始加油站

我们可以通过一次遍历求解：
我们可以将dev[n]分为两部分，第一部分0到i-1，第二部分i到N。如果第一部分的和小于0，第二部分的和大于0，并且所有dev[n]的和大于0，则就可以从第i个加油站开始。

代码

class Solution {
    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
        if(gas==null||gas.length==0)
            return -1;
        int[] dev=new int[gas.length];
        int sum=0;
        int max_sub_sum=0;
        int start=0;
        for(int i=0;i<gas.length;i++){
            dev[i]=gas[i]-cost[i];
            max_sub_sum+=dev[i];
            sum+=dev[i];
            if(max_sub_sum<0){
                start=i+1;
                max_sub_sum=0;
            }
        }
        if(sum<0)
            return -1;
        return start;
    }
}