2019-03-13

矩阵的转置
- $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{bmatrix}$ 则称
$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{21}&...&a_{m1} \\ a_{12}&a_{22}&...&a_{m2}\\ ...\\a_{1n}&a_{2n}&...&a_{mn} \end{bmatrix}$ 为A的转置，记为 $A^T$
$(A^T)^T = A$
设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则 $A^T$ 为 $n\times m$ 矩阵
$A$ 为对称矩阵，则 $A^T = A$
$A$ 为反对称矩阵，则 $A^T = -A$
$A$ 为n阶方阵， $B = A+A^T$ , $B$ 为对称矩阵
分块矩阵
1、分出特殊矩阵
- $\begin{bmatrix} E_3 &B\\ C&O_2 \end{bmatrix}$
- - 其中 $A_1,A_2,...A_s$ 都是方阵
2、按列分块
3、按行分块
分块相加，分块数乘，分块乘法
设A为矩阵，
- 其中 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_s$ 为n维的列向量，则 $AB = A(\beta_1,\beta_2,...,\beta_s) = (A\beta_1,A\beta_2,...,A\beta_s)$
分块转置
矩阵的初等变换
1、矩阵的初等行变换
- 对换变换， $r_i\leftrightarrow r_j$
- 倍乘变换， $r_i\times k(k\neq0)$
- 倍加变换, $r_i+kr_j$
行阶梯形矩阵
- 若有零行，零行在最下方
- 非零首元的列指标随着行指标的增加而严格递增
- 任何一个矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形，事实上，只要用其中的倍加变换即可。
行最简形矩阵
- 是行阶梯形
- 非零首元都是1
- 非零首元所在的列的其余元素都是0
- 任何一个矩阵都可以经过初等行变换化为行最简形
  2、矩阵的初等列变换类似
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换
矩阵等价
- 设矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称A与B等价（或相抵），记为 $A\to B$
对换，倍乘，倍加变换是可逆的
矩阵的等价标准形
- 若 $m\times n$ 矩阵A经过有限次初等变换化为 $E_{m\times n}^{(r)} = \begin{bmatrix}E_r&O_{r\times (n-r)}\\O_{(m-r)\times r}&O_{(m-r)\times(n-r)} \end{bmatrix}$ 称 $E_{m\times n}^{(r)}$ 为A的等价标准形
初等矩阵
$E(i,j),E(i,j(k))$
左行右列
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵
- 初等矩阵有三类： $E(i,j),E(i(k),j),E(i,j(k))$
对矩阵A进行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵
对矩阵A进行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵

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2019-03-13

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