2022-11-13 一道很有意思的不等式

已知正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的最小值

直接移项：a+b=ab-3

由已知可以得到两边都是正数，两边平方，得到：

a^2+2ab+b^2=(ab)^2-6ab+9

这里就需要用到常用的一个操作，用基本不等式把等式变成不等式：

(ab)^2-6ab+9=a^2+b^2+2ab\geq 4ab

移项之后，得到

（ab)^2-10ab+9\geq 0

得到ab\leq 1（舍去）或者ab\geq 9

其中用基本不等式将等式变为不等式的操作还是比较实用的。而且中间一步事实上隐藏了一个条件，就是ab\geq 3.

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