折纸二面角：2016年理数全国卷B题19

折纸二面角：2016年理数全国卷B题19（12分）

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $AB=5,AC =6$ ，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF= \dfrac {5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置， $OD'= \sqrt{10}.$

（I）证明∶ $D'H \perp$ 平面 $ABCD$ ;

（Ⅱ）求二面角 $B-D'A-C$ 的正弦值.

2016年理数全国卷B

【解答问题I】

∵ 菱形的对角线相互垂直平分，而在菱形 $ABCD$ 中， $AB=5,AC =6$ ，

∴ $OA=OC=3$ , $OB=OD=4$

又 ∵ $AE=CF= \dfrac {5}{4}$ ,

∴ $DE=DF= \dfrac {15} {4}$ , $EF//AC$ , $OH=1,HD=3$

∴ $\triangle DEF$ 是等腰三角形， $HE=HF$ , $DH \perp EF$ ,

又∵ $\triangle D'EF \cong \triangle DEF$ , ∴ $D'H \perp EF$ .

∵ $OD'= \sqrt{10},OH=1,HD=3$

∴ $|OD'|^2 = |OH|^2 + |HD|^2$

∴ $D'H \perp OH$ .

∵ $D'H \perp OH, D'H \perp EF, EF\cap OH=H$ ,

∴ $D'H \perp$ 平面 $ABCD$ . 证明完毕.

【解答问题Ⅱ：建立坐标系】

以点 $O$ 为原点建立直角坐标系，并以 $OB,OC$ 为 $x,y$ 轴，以 $HD'$ 方向为 $z$ 轴正方向；

相关各点坐标如下：

$O(0,0,0),\;B(4,0,0),\;A(0,-3,0),$

$C(0,3,0),\;D'(-1,0,3),\;$

$\overrightarrow{AD'}=(-1,3,3)$

$\overrightarrow{AB}=(4,3,0)$

$\overrightarrow{AC}=(0,6,0)$

【解答问题Ⅱ：算法一】

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD'}=(9,-12,15)$

$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD'}=(18,0,6)$

令 $\overrightarrow{m}=(3,-4,5),\overrightarrow{n}=(3,0,1)$ ,

$\dfrac { \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} } { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}| } = \dfrac {7} {5\sqrt{5}}$

∴ 二面角 $B-D'A-C$ 的正弦值 $= \dfrac {2} {25} \sqrt{95}$

【解答问题Ⅱ：算法二】

令 $\overrightarrow{m}$ 为平面 $AD'B$ 的法向量，则

$4m_x+3m_y=0$

$-m_x+3m_y+3m_z=0$

∴ $\overrightarrow{m}=(-3,4,-5)$

令 $\overrightarrow{n}$ 为平面 $AD'C$ 的法向量，则

$6n_y=0$

$-n_x+3n_y+3n_z=0$

∴ $\overrightarrow{n}=(3,0,-1)$

$\dfrac { \overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} } { |\overrightarrow{m}| \cdot |\overrightarrow{n}| } = \dfrac {-7} {5\sqrt{5}}$

∴ 二面角 $B-D'A-C$ 的正弦值 $= \dfrac {2} {25} \sqrt{95}$

【提炼与提高】

本题第1问，由线线垂直推出线面垂直。在推导过程中用到了菱形的性质和勾股定理的逆定理。

本题第2问，适合用向量方法解决。我们用外积法和内积法分别计算，相互校验，避免失误。

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