串联型PID，并联型PID与标准型PID简要说明¹

PID广泛应用于工业生产各个环节，然而对于不同PID结构会有一些差异，导致在调参时若按照常规的经验调试，结果将会有非常大的不同。

串联型PID（Serial PID）

串联型PID的三个环节由比例，积分和微分项串级而成，结构简图如下：

Serial PID

其传递函数为：
$G_{serial}(s) = k(1+\frac{1}{s\tau_{i}})(1+s\tau_{d}) \tag{1-1}$
若使用后向欧拉法将其离散化，即将：
$s=\frac{1-z^{-1}}{T_s} \tag{1-2}$
带入式(1-1)中，可得到：
$out(m)=out(m-1)+Aerr(m)+Berr(m-1)+Cerr(m-2) \tag{1-3}$
其中：

$out(m)$ —— 第m时刻控制器输出
$err(m)$ —— 第m时刻的误差
$T_s$ —— 离散化控制周期
$A = \frac{k(T_s^2+T_s\tau_d+\tau_i\tau_d+\tau_iT_s)}{\tau_iT_s}$
$B = -\frac{k(T_s\tau_d+2\tau_i\tau_d+\tau_i T_s)}{\tau_iT_s}$
$C = \frac{k\tau_d}{T_s}$

式(1-3)即为串联型PID的离散化增量式实现。利用递推的方法可得到绝对式实现如下：
$out(m)=A\sum_{n=2}^{m}{err(n)}+B\sum_{n=1}^{m-1}{err(n)}+C\sum_{n=0}^{m-2}{err(n)} \tag{1-4}$

并联型PID（Parallel PID）

并联型PID的三个环节由比例，积分和微分项并联而成，其结构简图如下：

Parallel PID

其传递函数为：
$G_{parallel}(s) = k_{p} + \frac{k_{i}}{s} + k_{d}s \tag{2-1}$
串联型与并联型二者的系数有所不同，其关系如下：
$k_{p} = k(1 + \frac{\tau_{d}}{\tau_{i}}) \\ k_{i} = \frac{k}{\tau_{i}} \\ k_{d} = k\tau_{d} \tag{2-2}$
使用后向欧拉离散化，可得到并联型PID的离散化增量式实现如下：
$out(m)=out(m-1)+k_p(err(m)-err(m-1))+k_iT_s err(m)+\frac{k_d}{T_s}(err(m)-2err(m-1)+err(m-2)) \tag{2-3}$
若使用Tustin方式离散化，即将：
$s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1} \tag{2-4}$
带入式(2-1)中，并将 $k_d$ 置为0，可得到：
$out(m)=out(m-1)+(k_p+\frac{T_sk_i}{2})err(m)+(\frac{T_sk_i}{2}-k_p)err(m-1) \tag{2-5}$
此即为并联型PI的离散化增量式实现。同样利用递推的方法可以得到绝对式实现如下：
$out(m)=k_perr(m)+k_iT_s\sum_{n=1}^{m}{err(n)}+\frac{k_d}{T_s}(err(m)-err(m-1)) \tag{2-6}$

标准型PID（Standard or mixed or Ideal PID）

标准型PID与上述二者都不同，其结构简图如下：

Standard PID

其传递函数为：
$G_{standard}(s) = K_{p}(1 + \frac{1}{sT_{i}} + sT_{d}) \tag{3-1}$
此时有：
$K_{p} = k(1 + \frac{\tau_{d}}{\tau_{i}}) \\ T_{i} = \tau_{i} + \tau_{d} \\ T_{d} = \frac{\tau_{d}\tau_{i}}{\tau_{d} + \tau_{i}} \tag{3-2}$
使用后向欧拉离散化方法，可得到标准型PID的离散化增量式实现：
$out(m)=out(m-1)+K_p(err(m)-err(m-1))+\frac{K_p}{T_i}T_s err(m)+\frac{K_pT_d}{T_s}(err(m)-2err(m-1)+err(m-2)) \tag{3-3}$
若使用Tustin方式离散化，并将 $K_d$ 置0，则得到标准型PI的离散化增量式实现：
$out(m)=out(m-1)+(K_p+\frac{K_pT_s}{2T_i})err(m)+(\frac{K_pT_s}{2T_i}-K_p)err(m-1) \tag{3-4}$
式(3-4)即为TI的快速电流环(FCL)中速度优化型PI控制器实现原理。值得注意的是，FCL中的各变量均为标幺值，因此实际实现需要稍作转换，即：
$K_{p标幺}=K_p*\frac{I_{base}}{V_{base}} \\ K_{i标幺}=K_i \tag{3-5}$
其中：

$V_{base}$ —— 电压标幺基值
$I_{base}$ —— 电流标幺基值

最后，使用同样的递推法，可以得到绝对式实现：
$out(m)=K_p err(m) + \frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+\frac{K_pT_d}{T_s}(err(m)-err(m-1)) \tag{3-6}$

三者区别

三者最重要的区别在于不同结构的参数对于控制器行为影响的不同。并联型PID实现了比例项，积分项和微分项的完全解耦，调节其中的 $k_{p},k_{i}$ 与 $k_{d}$ 即可独立的作用在比例，积分和微分项上；而标准形式的 $K_{p}$ 将同时影响比例，积分和微分三项行为。串联型类似。工业应用中，标准形式和并联形式的PID应用的最为广泛，且Simulink中也可以看到，PID的形式选择分为Parallel及Ideal（即Standard）：

Simulink Parallel PID

Simulink Ideal(Standard) PID
值得注意的是比例项和积分项都与前文相同，而微分项，MATLAB中用 $D*N*s/(s+N)$ 代替了纯微分项 $Ds$ 。将其化简可以得到：
$Ds*\frac{1}{\frac{1}{N}s+1} \tag{4-1}$
前面 $Ds$ 为正常的微分项，后面则乘上了一个一阶低通滤波器，而 $N$ 即为低通截止频率，对于Ideal类型的控制器，此即为改进型标准PID。该部分的离散化与标准型PID描述相同，唯一的差别在于微分项需要经过一次滤波处理。此处给出绝对式的两种实现（改进型并联PID同理），实现一（先滤波，后微分）：
$out(m)=K_perr(m)+\frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+\frac{K_pT_d}{T_s}(filter_{err}(m)-filter_{err}(m-1)) \tag{4-2}$
其中：
- $filter_{err}(m)=K1*err(m)+K2*filter_{err}(m-1)$
- $K1=\frac{2\pi NT_s}{1+2\pi NT_s}$
- $K2=\frac{1}{1+2\pi NT_s}$
实现二（先微分，后滤波）：
$out(m)=K_p err(m)+\frac{K_p}{T_i}T_s\sum_{n=1}^{m}err(n)+U_d(m) \tag{4-3}$
其中：
- $U_d(m)=K1*[\frac{K_p T_d}{T_s}(err(m)-err(m-1))]+K2*U_d(m-1)$
- $K1=\frac{2\pi NT_s}{1+2\pi NT_s}$
- $K2=\frac{1}{1+2\pi NT_s}$