2021年八省联考题20
北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定∶多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如∶正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是
，所以正四面体在各顶点的曲率为
，故其总曲率为
.
（1）求四棱锥的总曲率;
（2）若多面体满足∶ 顶点数-棱数+面数=2，证明∶ 这类多面体的总曲率是常数.
【解答第1问】
四棱锥有5个顶点和5个面，其中1个四边形，4个三角形，其面角总和 =
总曲率=
【解答第2问】
如图所示，对于平面上的n边形，在多边形内任取一点Q，可以将其拆分为n个三角形。因为任意三角形的内角之和等于180度，所以，这些三角形的内角之和等于：; 由于在点Q处还有一个
角，所以，n边形的内角之和等于：
，也就是:
.
对于多面体的每个面依法炮制，可得三角形的数量 = 棱数 × 2
可得 角的数量 = 面数
按照曲率公式，
总曲率 = 顶点数 - (棱数
- 面数
) = (顶点数-棱数+面数)
证明完毕.
【回归教材】
多边形的内角和是几何学的一个基本问题，人教版《数学-八年级上册》（第21页）第11章 §11.3.2 的标题即为：《多边形的内角和》
可见，本题考查的属于：基本概念和基本方法。
【提炼与提高】
为什么有好多学生感觉这个题很难？原因在于：它太基本了，在经过大量的、重复性的机械的训练之后，学生已经不会用基本的方法解决问题。遇到这样和所有『题型』都不靠的问题，就无从下手。
为了成功解答本题，考生要过几关：
1）读懂题目，关键是在几分钟内理解一个新的概念：多面体的曲率。
2）掌握多边形内角和公式的推导过程，而不仅仅是结论。
3）经过观察和归纳，得出结论：三角形的数量=棱数×2. 这点并不难，但现实中就是有人做不到。
多年来，中学数学的教学存在一种理论与实践脱节的倾向：专家们不断强调数学思想和方法；中学教师一直在带着自己的学生拼命刷题。
八省联考数学卷，向大家传递了这样一个信号：命题人办法是很多的。在对高考制度不进行大变的前提下，加强对于学生能力的考查，是完全可以做到的。
对于备考的学生和教师来说，我的建议是：
1）多思考，多总结；切忌盲目做题。
2）花点时间读读教科书，包括初中和高中的教科书，会用到的。
