一、摘要
1、研究了简单的太阳、木星(Jupiter)和地球的三体运动问题,由于相对而言,木星质量在八大行星里是最大的,所以它经过地球时,可能对地球运动造成一定影响,于是我用书上的步骤模拟绘制出来他们的运动轨迹,并假设计算方法不变,木星质量变为原来的10倍、1000倍时,看运动轨迹变化
2、模拟了木星对处于它的共振带的小行星运动影响(我画的是处于2/1 Kirkwood gap的小行星)
3、探究了Hyperion的运动状态。Hyperion 是土星(Saturn)的一颗卫星,它是一颗形状奇怪的卫星(哑铃状),我绘制了它的自转角度Θ和角速度ω随时间的变曲线,探究了它的初始化改变带来的混沌状态,探究了书上习题problem 4.19、4.20
二、背景介绍
1900年,数学家希尔伯特在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题以及两个典型例子,第一个是费尔马猜想,第二个就是所要介绍的N体问题的特例——三体问题。对于20世纪数学的整体发展,这两个例子所起的作用要比23个问题中的任何一个都更加巨大。最终,费尔马猜想在1994年被美国的怀尔斯解决,而三体问题却仍然是数学大厦上的一朵乌云,挥之不去。
一般的三体问题,每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下,其运动方程都可以表示成6个一阶的常微分方程。因此,一般三体问题的运动方程为十八阶方程,必须得到18个积分才能得到完全解。然而,现阶段还只能得到三体问题的10个初积分,远远不足以解决三体问题。
我们常说的“三体问题无解”,准确地来说,是无解析解,意思是三体问题没有规律性答案,不能用解析式表达出来,只能算数值解,没有办法得出精确值。然而对于三体问题的数值解,时间会无限放大初始的微小误差,因此数值法几乎没有办法预测当时间趋于无穷时,三体轨道的最终命运。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性,就被称为“混沌”现象。三体问题理论上是不可解的,只能发现一些特解,
人类耗费多少实际解决这个问题,终究是证明自己在上帝面前是多么的渺小与愚蠢
。。。。。。
但谁叫我们是人类呢!
这里讨论及其简单粗暴的对于太阳、木星(Jupiter)和地球的三体运动问题,木星受到的沿x轴方向的力和沿x轴方向的加速度代数表达如下
沿y轴方向的力和加速度同样形式
地球所受的力和加速度一样可以这样求出来,再运用我们已经运用多次的Euler-Cromer方法,我们可以一步一步模拟出运动轨迹,具体参数为
Kirkwood Gaps 产生的原因是该轨道上运动的行星会与周期木星“共振”,由于木星质量较大,对其他行星运动产生影响较大,特别是共振态上的,运行一段时间后会飞出去。
我取的小行星处于2/1 gap处,参数为a=3.276 AU,v=3.471 AU/yr
Hyperion绕着土星(Saturn)运动,我们模拟时可看做用一根无质量硬杆连接的哑铃状物体,作用在质点m1上的力可以写成
以质心为原点,作用在m1上的力矩和由此推出的近似角速度为
据此一步步运算,作图
三、主体
1、太阳、木星(Jupiter)和地球的三体运动问题
代码:三体轨迹
当我们把Jupiter的质量变为原来的10倍甚至1000倍时,变化产生了
质量变为10倍时,地球运动轨迹变化还无法察觉
变为1000倍时,虽然Jupiter相对太阳的质量不可以忽略,太阳运动也会显著变化,理论上我们的算法将要改变,但若不变算法,我们依然可以定性的探究一下,可以见到地球运动变得混沌,然后突然一下飞了出去,可怕!
不会用vpython,所以可耻地借用别人的3Dvpython图,可以更直观的展现这种变化
2、Resonance 木星对处于它的共振带的小行星运动影响
可见影响还是有的,轨迹不再重合,据书上所说,小行星将处于共振态很长一段时间,然后突然剧变, 最终偏离原轨道。
3、Hyperion的混沌状态
当轨道为圆形即初始的vy=2π HU/Hyperion-year时
轨迹为圆时运动是相当规律的
若改变初始vy=5HU/Hyperion-year,轨迹变成椭圆
混沌运动产生,我们进一步探究,改变初始条件,使两个运动的初始角度Θ差0.01,即dΘ=0.01
并作出dΘ随时间的变化图
我取的初始值统一x=1,y=0,vx=0,所以取不同初始vy,可以使椭圆离心率发生变化(其中vy=2π时是圆),为探究不同离心率e对Lyapunov exponent的影响,我取了vy=4、5、2π、7
当我把对角度的限制去掉以后,即角度不再是限制于-π~+π时,,同样条件得出的图是(PS:纵坐标不再取log值)
四、结论
1、三体运动是复杂无解的,但只考虑非常简化的太阳、木星(Jupiter)和地球的三体运动时,可以看出木星对地球的影响十分小,但如果把木星的质量变为原来的1000倍,那影响将十分巨大,地球也将不再是现在这个样子
2、木星对处于它的共振带的小行星运动有较大影响,小行星将处于共振态很长一段时间,然后突然短时间内剧变, 最终偏离原轨道。
3、Hyperion绕着土星公转,但它的自转角速度是混沌的,若轨道是圆形轨道,Θ、ω都是周期的,轨道变为椭圆,混沌现象出现。去掉角度的限制后,图中还有一些谷,是因为当角度大的一方的角速度从正变为负的时候,角度差会减小所致。
五、致谢
1、计算物理课本
2、百度百科
3、郭潇同学的v-python图