一、背景知识：回顾梳理

《数学课程标准（ 2011 ）》中，把数学课程目标分为总目标与学段目标，并分别从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面加以阐述。 可见，“问题解决”是数学课程目标。 就“问题解决”的课程目标而言，具体的要求是：要培养学生发现问题、提出问题的能力，综合运用数学知识解决实际问题的能力，获得分析问题、解决问题的一些基本方法，发展创新意识等。

过去，归一问题属于应用题教学。多数采用综合法、分析法等帮助学生分析题目中的数量关系，以找到“解题方法”为目标。 而“解决问题”教学时，则没有现成的类型和解法来套用，需要学生运用所学知识，并通过个人或小组合作的形式探索和实践来解决，具有挑战性，这样就更有助于通过“解决问题”，培养学生的创新意识，发展其实践能力和合作精神。

二、理性思考：数量关系

2019年4月7日凌晨，我聆听了吴正宪老师的《归一问题解决问题》，我久久不能睡着。一方面，吴老师动情地与儿童交流，吴老师从“1”和“多”之间的关系，建构了数量关系为本质的问题解决。

吴正宪老师执教的《问题解决（归一问题）》从数量关系出发，收尾呼应。吴老师从问题出发，让儿童回顾问题解决的全过程是阅读理解-分析解答-回顾反思。比如，开课之后，吴老师以一系列问题，指明一个同学，帮助吴老师在黑板上板书。吴老师的问题是这样的，她让学生不断提出问题。

1.从多到1，从1到多，明晰数量关系

第一个问题：12件衣服需要多少个小珠子？（你会马上问我？）

学生记录：一件。

第二问题：买8个碗需要多少钱？

学生记录

第三问题：6小时行驶多少千米？

吴老师在黑板上圈出了1件、1个、1小时的，边圈边说，假如我们能知道了一件的，就可以求12件，还能求......

【思考：为什么吴老师这样设计，吴老师把知识系统化，抓住了不同的类型的问题解决的关键之处，本质的是从多到1，从1到多。我以为，吴老师果断的让学生思考，你会马上问我？唤醒了学生的已有的问题解决过程。】

2.从数据到关系：多元表征，沟通本质

出示问题：

吴老师：同学们发现了重要数据，像4件、12件、24，还有要求的问题。这些数量之间有怎么样的关系，我们解决问题就是研究数量和数量之间的关系。我相信已经有人有答案了。你能求出12件衣服有多少个扣子。或许你现在就知道了，但是我想，让同学们把手放下来，如果仅仅要数据，5分钟就解决了。吴老师给你新的收获。

你有什么办法解决？你还能通过画图？或者四个数量组合组合，让其他小朋友理解你。

【思考：问题解决需要借助直观图，比如3号同学直接画衣服，1号同学画三角形，2号同学画线段图，4号同学的圆形图。吴老师在沟通不同计算表征过程中，并没有先呈现线段图的方式，也不是出示画衣服的图片，而是对比了1和3的作品。这样的做法，我想是吴老师的基于儿童的经验或者儿童的理解，并且尊重了儿童的理解过程，但是，这个过程中，吴老师不断启发儿童之间要读懂作品，她适时退后，让儿童之间互相发问，让儿童说出懂或者不懂。当孩子不懂的时候，她主动让儿童之间互相提出问题。她总是这样说：“没事儿。没看懂的，我们一起读懂这个同学的想法。”】

3.从现实到未来：建构模型思想

接下来的环节里，吴老师让学生把数学的数量关系进行梳理，并且把这样的对应关系板书到黑板上，可以看到，

24    ？个

4     12件

吴老师这样说：“假如我们有了第二个问题，来不及解决了。你们自己能够独立解决吗？同学们，你们经常说的，1就是每份数，多就是总数。有了每份数和总数，他们之间的关系。我们就用每份数乘份数=总数。总数÷份数=每份数。

马上问一个碗多少钱，已经不是困难。这里的每份数就可以叫做单价，总价，数量。又有了这样的数量关系。

马上想到，一小时行驶了多少。60，每份数有了速度，一共是多少就是路程，时间。同学们，不需要记忆，未来，哦，这就是1和多的关系的那位老师。再遇到速度、时间、路程的事儿。课已经到了尾声。但是我告诉你们。你们已经顺利拿下来了。今天这几课重点研究的是归一问题。”

【思考：收尾呼应，提升模型思想。归一数量关系，基本结构是b分之a=x分之c，吴老师提升了对知识的整体建构。从开始的问题出发回归到了整个问题解决的过程，甚至是一类型的问题的提升。】’

三、课堂实录：细微之处

我们吴正宪：一会儿，讲的时候声音大一点儿。不管哪位同学回答问题，说不定在她的眼神里，能读懂。我们的眼睛都看着她。说不定在手势中，理解她的表示。

今天，吴老师和大家继续聊一个话题。这个话题叫解决问题。

吴老师：一年级学习了加减乘除的运算。这些运算帮助我们解决问题。

你们还记得解决问题，大致要经历哪些过程？

生：看问题

吴老师：阅读理解。第二步呢？

生：分析

真好，吴老师说。

吴老师：进一步分析和解答，最后一步是检查

最后一步就是回顾与反思。

吴老师：我们下面，我提完问题之后，大家可以不断提出你的问题。

吴老师：出示第一个问题：12件衣服需要多少个小珠子？

生1：一件衣服有几颗珠子。

吴老师：能解决

生：指明学生，板书：一件衣服

师：我继续问，如果我想，买8个碗需要多少钱？

生：一个碗

6小时行驶了多少千米

生：1小时多少千米？

吴老师（圈出来）

孩子圈出来1小时

吴老师：假如，我们知道1件衣服，我们知道了12件衣服，还能求几件的？

生 20

生100

生18

生50

生各种数字，就是很多很大的

吴老师：我知道了，只要知道了一件，就能求12件，50件的，很多件，很大件。我听懂了（板书：1，板书多标出箭头）有的时候，一件偏偏做个玩笑。

出示【ppt】

艺术节要到了，学校舞蹈队的孩子们要进行表扬，老师们决定在孩子们演出服上钉一些

生：4件衣服钉了24个珠子

师：

生：照这样，12件衣服需要多少个珠子？

师：还有没有重要的数据？

生：4件 ，12个珠子。 12件衣服，

还有吗？

还有没有不知道数据？

一件衣服可以钉几个珠子？

生：一件衣服要钉6个珠子？

师：我们要求的问题是什么？

师：我听懂了。

同学们发现了重要的数据。

师：板书4件 24 个 12件 ？我们解决问题就是研究数量和数量之间的关系。你能求出12件事情有多少个扣子，这件事情不急，不急。你们就仅仅要数据。真的想通过这几课，有点新的收获。就是这些信息和数据，你能不能独立思考，你有什么办法解决这个问题，不仅仅自己看明白，比如画画图，比如组合组合，让其他小朋友理解。

我们先不讨论，开始吧。

吴老师巡视，观察儿童的思考过程。师：做完的小朋友，说一说你们是怎么想的？一会儿去集体交流。

吴老师：想法一样的就不要了。讨论讨论，能不能理解别人的想法。

一会儿看看，老师要展示的几位。

你们刚才做了一个简短的交流。吴老师呈现几位同学的解答过程。我问一下结果，最后钉多少个小珠子。

72颗

师：你不72.

还有不72的吗？没事的

师：这样啊，我们一起来看一看。这个都弄明白了。

问：一个三角形表示多少

生：表示一件衣服。

师：一件一件 有4件衣服。

看懂了吗？

一画衣服看懂了

生：12里面有3个24

一个三角形表示4件衣服。

师：三号同学就一件衣服表示一件衣服。道理是一样。同学们，你想说什么？

生：3号，因为她画是衣服，画清楚。

师：要是买冰箱，你们还笑吗

生：那样太麻烦了

生：如果数量很多，实体物品，用简单的物品表示。

吴老师：画衣服就懂了。我们有一个约定，我们可以用三角形、圆和线段图，帮助解决问题。

师：你们看看2号同学，你们看懂了吗？

生：看懂了吗？

4件24，老师涂黑，一件衣服多少个，再用一件的乘12，我们知道了1就可以知道许多许多。刚才的一件没有直接告诉你。我们知道4件衣服订了24，知道许多件钉了许多扣子，我们能知道1，我们找到许多，我们还能找到1.正是三角形的图，2号的图多么简洁。3号图也好，衣服一朵多，怎么多。

生：可以乘法。

吴:4号同学在哪里？你看懂了我的想法？、

师：看懂的举手。不急不急

你真的没看懂。

师：没事儿。没看懂的，我们一起读懂这个同学的想法。

这是几？

生：4件衣服

生：12件衣服

师：为什么用12÷4＝3？

解铃还须系铃人。请你解释解释

你们看看他讲的你能不能听懂。

因为72有3个24.

你应当是问题。修改图

问题是：为什么？

生：12件衣服，

生：明明3份，为什么说3件？3件从哪里来的？理解别人挺难的事儿。你知道吗？

不知道。

谁知道。

生：快过年。我领着你。同学们一定要保护视力。

生：3件是，4件这样的3组。一组一组，这里有3组

生：一组，一组，又一组。一共是3组。一组标出24颗，下一组24，下一组24，所以3个24，就有3个24.就出来24+24+24=72.真的读懂别人，需要我们认真思考。

生：我的意识是12÷4=3,12是4件衣服的3倍，可以所成3份，也就是3组。你知道你的意思为什么没看看懂。

生：他们不知道为什么，图上怎么样让我们看明白。

生：4件衣服，24，怎么看出12里面有3个4呢？

4件一组，可是图上却没有圈、没有画。圈上3个圈，让小朋友看3个圈，我们就找到了。让别人读懂自己，如果填上3个圈，就更好了。

师：读懂了。这就是学习过程。我们不仅仅满足结果，让别人理解自己，还得下点功夫。同学们，刚才我们研究的都是4个数之间的关系，谁愿意到前面来，谁和谁一组比较合适？

生：我想把4件和24颗珠子房子一起，12件放在下面，代表。你觉得哪两个数据最近。能把数据分开一点儿吗？

师：4件和24有对应关系。老师演示下，

24    ？个

4     12件

知道了许多，能求1件，知道1件，能求许多。

24    72

4     12件

一件衣服的珠子，两组数量的结果是相同的，用什么数学符号？

这个等号，很有力量。

师:这两边是相等的。

12÷4=3

72÷24=3

数量从竖着、横着看一看，知道1和多的关系。

假如我们有了第二个问题，来不及解决了。你们自己能够独立解决吗？同学们，你们经常说的，1就是每份数，多就是总数。有了每份数和总数，他们之间的关系。我们就用每份数乘份数=总数。总数÷份数=每份数。

马上问一个碗多少钱，已经不是困难。这里的每份数就可以叫做单价，总价，数量。又有了这样的数量关系。

马上想到，一小时行驶了多少。60，每份数有了速度，一共是多少就是路程，时间。同学们，不需要记忆，未来，哦，这就是1和多的关系的那位老师。再遇到速度、时间、路程的事儿。课已经到了尾声。但是我告诉你们。你们已经顺利拿下来了。今天这几课重点研究的是归一问题。

师：解决这个问题重点是每份数和多份数的关系。知道了老一，就知道老多。有了老多，就能推出老多。我们还会推出许多这样特点的题。

吴老师：归一问题，原来形式化、11简单应用题，加上典型应用题。课改之后变成了问题解决，或者解决问题。我们本来是加强的。特别是新老师，反而淡化了。解决问题最重要的是研究数量关系。归一问题有了重要特点。我想，研究的是数量之间的关系，研究的是1和多之间的关系，这是一种辩证的关系。主要的关系，每份数，份数和总数的关系。没有抓手了，我们解决问题可不能虚化，我们如何帮助学生提高学生的能力，它就长在课里。谁也绕不开。一日三餐的数学课，不是茶余饭后，喝点咖啡。核心知识，它是小学数学教学中，培养核心能力之重。让学生理解1和多。孩子做题，没有问题。孩子们已经走向了比例，函数思想的重要的，正比例的图像。我们归一问题，从1走向多，我们走向比例。你的1和我的1相等，72变成了x，这就是一个重要的比例。到底有怎么的关系。我做了尝试。一会儿人教版教材的指导，小学数学界的曹老师。

曹培英：各位老师，观摩了吴老师的精彩演绎。

首先：一如既往的亲和，名副其实的儿童数学，传统内容的与时俱进，模型思想的生动体现。知道多-明白一，到了六年级，正反比例列出一个表格，除了归一还有倍比的关系。为什么关系“照这样”吴老师的启发，学生个个性化表征，为后续学习做出了铺垫？

为什么学习归一问题

北师大，增加了这个内容

数量关系看：正比例关系-为学习比例做出铺垫

迁移，分数乘除的中国思路

18÷三分之二 ，18的三分之二。

实际意义，一份是多少。刚才是整数乘分数，分数乘分数， 十九分之十八

已知一个数的三分之二是18，求这个数。我们看到了。

从文化差异看：不同的读写顺序，三分之二：分数线，分母-分子

不同顺序的影响。各有利弊。

国外学者之所有，分数的第五种意义。算子。