我先给大家讲一个故事：

一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

问题一可以简单描述为：

如果把64个金片由一根针上移动到另一根针上，并且始终保持下小上大的顺序，要多少次移动？先看演示图：

先假设金片数为N，移动次数为M。

N=1，M=1

N=2，M=3,

N=3，M=7

...................

N=64，M=2^64-1  这是一个很大的数字了。

假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有 31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，

18446744073709551615/31556952=584554049253.855年

这表明移完这些金片需要5845亿年以上。

我的天哪！！！！！！

       梅森素数，(MersennePrimes)是17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林•梅森所发现的。

       梅森素数指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp。若Mp是素数，则称为梅森素数。

p=2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11=2047=23×89不是素数，是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。

截至2016年1月累计发现49个梅森素数，最大的是p=2^74207281-1（被称为M74207281），此时 Mp 是一个22338618位数。

四色定理简洁证明及其漏洞

四色定理：任何一张正规地图，只用四种颜色就能够使得有相同边境的国家着上上不同的颜色。

证明如下：

假设存在一个数目N,国家数目达到N时，就可以构造一个地图――它必须用五种颜色着色（四色不够）。这也就是假设去掉其中任何一个国家，数目成为N-1时，它应当可以用四种颜色着色。

现在我们用反证法证明。

假设我们能够证明：如果N-1个国家的地图能用四色着色，把去掉的一个加上去也能，那么我们就证明了不存在这样一个N,也就证明了四色定理。

根据欧拉定理,任何一个地图，必然存在一国（称之为X国），其相邻国家数目不大于5。或者说，其邻国可能是1个，2个，3个，4个，或5个。

（欧拉定理请自行百度）

这样，我们就从有个N国家的地图中拿掉X这一国家，这时它应当可以用四色着色。现在，如果我们能证明，把X国放回到着好四色的N-1国地图中，通过系统颜色变换，也能用四色着色，这样就证明了四色定理。

假如X国邻国只有1，2，3国，这是简单的，着第四种颜色就是。现在考虑四邻国和5邻国。

前人已经通过2色通道的概念，证明四邻国可以为X国着色而不增加颜色数目。参看图1（其中R,G,B,Y分别表示红，绿，蓝，黄四色）

图1四邻国问题

一个二色通道是由交替着上两种不同颜色的国家连成的。上面两个通道BY通道和RG通道总有一个是不通的。假设RG通道不通，则把和R国以及与之相连的RG通道1上的国家的颜色R和G互换，再把X国着上R就行了.

着好色的地图如图二。

图2.四邻国问题解决

剩下的硬骨头是5邻国问题。我们假设最坏的情况――X邻国已经有四种颜色。现在我们可以画图三所示四个通道。

图3五邻国问题

1）BY通道是通的，RG通道必然不通，这好解决――改变与G国相连的RG通道颜色，再把X着色成G就行。

2）BG通道是通的，RY通道必然不通，这也好解决――改变与Y国相连的RY通道颜色，再把X着色成Y就行。

3）BY通道和BG通道都不通，则RG通道和RY通道必然是通的。即如果下面两个通道不通，则上面两个通道必然是通的。这时，我们把和左B相连的BY通道(a)颜色对调，和右B相连的BG通道(b)颜色对调，然后把X着成B就是。参看图4。

图4五邻国问题解决

到此5邻国问题圆满解决，四色定理证明大功告成。

这是我20年前的证明。当时我没看到Kempe的具体证明，也不知道别人提出的反例究竟如何。我把它投寄给一位再报上介绍四色定理的数学学者，他也没发现漏洞。后来倒是我自己发现了漏洞――图3中如果上面两条通道交叉，证明就会失败。参看图5。

图5上两个通道交叉导致证明失败的反例

具体图例：

图6反例

我把这个看似简洁正确方法公布出来，或许可以让后来者少走弯路。