摘要：“微商，微分之商也。“微分和微商是高数的基本名词，它们的变化构成了高等数学入门的基础内容。因此，深入探究微分与微商是学好高数的关键，对微分与微商掌握的熟练程度也成为了划分高数学习的分水岭。丰富的嬗变形式是否有规可循？玄妙的解题思路背后几何的意义何在？相似的结构是否隐藏着“血缘关系”？数学从不乏乐趣，数字之间，算法之中藏匿着许多不为人知的秘密等待我们探索。同时这一部分的复杂思路也是困扰笔者多时，让我们“剪不断，理还乱”。经过仔细的分析，我认为从维度来看待各种变化具有很好的条理性。旨在为大家提供新的思路，其实技巧实际也是乏善可陈。下面，请读者跟随我的脚步，一起探索微分与微商的奥秘。****
关键字：微分 微商 维度

目录
1.1 微分与微商
1.1.1 微分的定义
1.1.2 微分的几何意义
1.1.3 关于A的说明
1.2 维度
1.2.1 维度的概念
1.2.2 维度的可行性
1.2.2.1逻辑可行
1.2.2.2 数学可行
1.2.2.3 物理可行
1.2.2.4 小结
1.3 研究略图
1.4 R1维度下的多级运算
1.4.1多个函数相乘的导数
1.4.2 多个函数相乘的微分
1.5R2维度下的多级运算
1.5.1 多级复合函数的导数
1.5.2 多级复合函数的微分
1.6 R3维度下的多级运算
1.6.1函数的高阶导数
1.6.2 函数的高阶微分
1.7 维度复合
1.7.1 牛莱公式的普适性
1.7.2 复合维度的运算
1.8 维度概念的拓展
1.8.1 一个可能存在的R引发的思考
1.8.1 对于维度的划分
1.9 总结
1.10 参考
1.1 微分与微商
1.1.1 微分的定义
设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的改变量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母，o(Δx)的值为n(Δx)=Δy/Δx - f’(x)），那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
这里注意，虽然微商和导数是等价的，并且可导是可微的充分必要条件，但是两者从概念上来说是不同的。
微商和导数的定义并不完全相同。导数从定义上来说是函数值随着自变量变化的变化率，即Δy/Δx；微商起源于微量分析，可以分解成为AΔx 和o(Δx)两个主要部分，而前一部分就是微分，它是函数值变化的主要部分，并不是全部。
另外，两者的几何意义也存在差异。导数是连续函数在某一个点的斜率；而微商则是沿切线方向纵坐标的变化量比横坐标的变化量，它只是函数变化的主要部分。
最重要的是对于非一元函数两者并不等价。由于能力所限，以后将会做详细分析。
1.1.2 微分的几何意义
微分的几何意义图如下

微分的几何意义

由图，对于自变量函数的增量Δy，有两部分组成。ON段就是AΔx，而MN段是o(Δx)，由于Δx相当的小，而且MN的变化相对ON更低阶，所以可以忽略。所以微商也可以解释成Δy/Δx，或者是说图中直线的正切值。
这就是微分的几何意义。
1.1.3 关于A的说明
也许初学者也会像笔者一样迷惑，A一定等于所在点的导数吗？
其实是这样的。A其实是一个常数，此外A = limΔy/Δx。因为，在微分的基本概念中有说明（△x→0），这一条件限定决定这个命题是正确的。
1.2 维度
1.2.1 维度的概念
从广义上讲，维度是事物“有联系”的抽象概念的数量 ，“有联系”的抽象概念指的是由多个抽象概念联系而成的抽象概念，和任何一个组成它的抽象概念都有联系，组成它的抽象概念的个数就是它变化的维度，如面积。此概念成立的基础是一切事物都有相对联系 。

1.2.2 维度的可行性
笔者反复思忖，认为维度观解决微商和微分的多级运算具有很好的层次结构，以便让读者理清思绪。另外用这种立体的思维解决抽象的问题并不是无稽之谈，具有一定的可行性。我暂时将函数化为三个维度。R_1表示f(x)、g(x)、h(x)……多个函数的基本四则运算；R_2表示h(g(f(……)))多级复合函数函数; R_3表示f^((n))或者dn即多阶运算。我将从逻辑、数学、物理角度进行解释。
1.2.2.1逻辑可行
从逻辑角度来看，维度的定义大抵是用低阶的元素项目，来组成更具有丰盈感的多阶项目。
观赏过影片《盗梦空间》的读者一定知道，主人公和他的团队构建了多层的梦境：低层次的梦是构筑高层次梦境的基石，每一个低层次的干扰会体现为一个更大的扰动反馈在高阶梦里。低阶梦里的人无法进入高阶世界，但可以影响他们。简而言之，低阶元素“筑造”高阶元素，影响着高阶世界，高阶世界无法影响低阶。低阶元素无法进入高阶，进入高阶世界必须要通过低阶世界。

推广到此问题的研究和探讨，发现这样看待无可厚非。每一个低阶运算都影响着高阶运算。阶级之间有严密等级，却也存有关系。这样说也许不具有说服力，而且会存在漏阶级的可能性。但是出于研究层次的分明性，和利用科技黑洞（思维抽象性）的便利性，这样研究未尝不可。有人说，人类的思维无法同时掌控七个方面。我们剥离开不严谨的方面，从繁琐的证明中抽离，先把研究函数作为目标，这样也许会收到奇效。当然数学的美也在于它的严谨，笔者能力有限，现阶段还无法完成此证明。日后若能领悟，将会继续深究。
1.2.2.2 数学可行
虽然R_1无法从严格意义的角度上来看成为线性组合span来组成R_2，但是基本的四则运算一定是函数思维的基石。由于加减运算可以分离开，除法运算可以看成特殊的乘法（非零元素的乘法），所以我将会主要解释乘法作为研究R_1的一般准则。

有的读者也许会考虑到函数本身非线性，我认为可以把一个函数看成一个元素。还有读者会说即使看成一个元素，几个函数之积也并非线性。笔者只是把四则运算作为一种运算法则归结为R_1。需要说明的是，笔者由于能力有限，无法证明出R_2组成的线性空间是或者可以构成R_3，或者这其中还有其他的维度。不过看似无关的时间与机会，不也构成了四维和五维关系吗？
1.2.2.3 物理可行
数学的立体几何本身就是物理模型的数学体现。因此数学可行本身就是物理可行的理论论证。读者可以将数学可行翻译成物理模型，就能直观的感受到三个维度的分离与联系。
1.2.2.4 小结
正如上文所述，这种研究有很大的漏洞，缺少严格证明。但是笔者只是想给初学者一个清晰的条理。就如同量子力学的不确定性，为了获得更轻松的研究方式，我们不得不失去了一定的准确性，但可以暂时从中得到抽象，进一步研究。
1.3 研究略图

框架图示

这是我进行研究的总框架图，分为纵向和横向两个部分。按照这条路线，读者的思路将会很清晰。事实上，我也是按照这条思路来写的这篇论文。
1.4 R_1维度下的多级运算
1.4.1多个函数相乘的导数
根据导数的四则运算法则，f_1(x)•f_2(x) = f_1^'(x)•f_2(x) + f_2^'(x)•f_1(x)
[f_1(x)•f_2(x)•f_3(x)] ^'
= f_1^'(x)•f_2(x)•f_3(x) + f_1(x)•f_2^'(x)•f_3(x) + f_1(x)•f_2(x)•f_3^'(x)
我们发现，每一次只有一个函数被导，其他的是原型，所以我们猜测有以下规律
[f_1(x)•f_2(x)•••f_n(x)] ^'
= f_1^'(x)•f_2(x)•••f_n(x) + f_1(x)•f_2^'(x)•••f_n(x) + f_1(x)•f_2(x)•••f_n^'(x)
用归纳总结法进行如下证明
当n = 1 时，显然成立；
当 n = k-1 时，设有如下式子成立
[f_1(x)•f_2(x)•••f_(k-1)(x)] ^'
= f_1^'(x)•f_2(x)•••f_(k-1)(x) + f_1(x)•f_2^'(x)•••f_(k-1)(x) + f_1(x)•f_2(x)•••f_(k-1)^'(x)
当 n = k 时，则
[f_1(x)•f_2(x)•••f_k(x)] ^'
= [f_1^'(x)•f_2(x)•••f_(k-1)(x) + f_1(x)•f_2^'(x)•••f_(k-1)(x) + f_1(x)•f_2(x)•••f_(k-1)^'(x)]•f_k(x) + f_k^'(x)•[f_1 (x)•f_2(x)•••f_(k-1)(x) + f_1(x)•f_2^ (x)•••f_(k-1)(x) + f_1(x)•f_2(x)•••f_(k-1)^ (x)]
= f_1^'(x)•f_2(x)•••f_k(x) + f_1(x)•f_2^'(x)•••f_k(x) + f_1(x)•f_2(x)•••f_k^'(x)
所以式子[f_1(x)•f_2(x)•••f_n(x)] ^'
= f_1^'(x)•f_2(x)•••f_n(x) + f_1(x)•f_2^'(x)•••f_n(x) + f_1(x)•f_2(x)•••f_n^'(x)
得证
1.4.2 多个函数相乘的微分
类似地，我们也可以用归纳总结的方法得出多个函数相乘的微分表达式：
d[f_1(x)•f_2(x)•••f_n(x)]
= [f_1(x)•f_2(x)•••f_n(x)] ^'•△x
= [f_1^'(x)•f_2(x)•••f_n(x) + f_1(x)•f_2^'(x)•••f_n(x) + f_1(x)•f_2(x)•••f_n^'(x)]•△x
1.5R_2维度下的多级运算
1.5.1 多级复合函数的导数
f(g(x))〖^'〗 = f’(g(x)) •f’(x)
f(g(h(x))) = f’(g(h(x))) •g’(h(x))•h’(x)
就这样我们又可以通过归纳总结找到规律并证明，也就是：
f_1^'(f_2'•••f_n^' (x)) = f_1^'(f_2 •••f_n^ (x))•f_2^ (•••f_n^' (x))•••f_n^' (x)
笔者不再赘述。
1.5.2 多级复合函数的微分
首先我先介绍一下一阶微分形式的不变性。
设函数为:y=f(u)。
这时:如果u是自变量,则函数y=f(u)的微分形式为:
dy=y'du=f'(u)du
如果u是中间变量,即u=g(x),函数就为复合函数,自变量是x,即y=f[g(x)],复合函数求导得:y'=f'[g(x)]•g'(x),那么复合函
y=fg(x)的微分形式为:
dy=y'dx=f'[g(x)]•g'(x)dx,
因为u=g(x),g'(x)dx=du,带入式得:
dy=f'(u)du.
这个定理的实质是用微分的基本概念。微商与△x的乘积等于微分，然后将展开后的元素进行等效替代，最后得出结论，发现无论在d 之后接什么样的函数，无非就是将该函数求导然后与△x相乘。特别要注意，一阶微分才有不变性，对于高阶的微分，不变性并不适用。当然，维度复合在之后会有讨论，我们现在大可不必在意，只是知道好了。因此又可以将上面的结论借用一下了
d f_1^ (f_2^ •••f_n^ (x))
=f_1^'(f_2'•••f_n^' (x)) dx
= f_1^'(f_2 •••f_n^ (x))•f_2^ (•••f_n^' (x))•••f_n^' (x)•dx
1.6 R_3维度下的多级运算
1.6.1函数的高阶导数
由于每个函数的导数不同，形式差异很大，所以无法在这里一一列举出所有函数的高阶导数通式，但是方法是固定的，还是那个我们熟悉的归纳总结。我在这里仅仅是列几个几个常见的高阶导数
（sin或cos⁡x） ^n = 〖sin或cos(〗⁡〖x+〗 nπ/2)
(1/x) ^n = (-1) ^n•n! / x ^(n+1)
( ln (1 + x)) ^n = (-1) ^(n-1)•(n-1)! / (x+1) ^n
1.6.2 函数的高阶微分
读到这里，我想，认真的读者一定发现了规律。每一个R里面的微分总会和导数建立类似的关系。是啊！毕竟微分数值上等于导数与一个无穷小量之积。但是，也要保持细心的态度，因为在某种情况下、出于一定原因它们可能会出现差错。但是在这个例子里，刚才的结果还是适用的。对于 d^nf(x) = f^n(x)•dx
1.7 维度复合
1.7.1 牛莱公式的普适性
一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有

类似于上面的归纳总结方法进行证明，可以给中学生用于联系归纳总结法，笔者不愿意再在这里浪费篇幅。我想为大家提供一个新的思路。
这里我想回忆一下牛顿二项式定理(x+a)^n=∑_(k=0)n▒〖(n¦k) x^k a^(n-k) 〗这个定理想必大家都很熟悉了。细心的读者会发现，这个公式实质上是对两个项目的进行的排列组合算数。可以把左边的项目看作是有n个括号相乘，然后从中取得x和a进行的组合。同样，函数的高阶导数也是如此。通过第一次求导，两个相乘的函数被划分成f_1^{'(x)•f_2(x)和f_2}'(x)•f_1(x)这两部分，然后继续求导会得出类似的结论。其实，这两个操作并没有什么差异，实质上都是无序的组合。只不过牛顿二项式是选择项目进行指数累加，牛顿莱布尼兹公式（以后写作牛莱公式）选择项目进行求多导。可以剥离出两个步骤：第一步，选择项目；第二步，操作。两者第一步相同，都是从n个项目里进行选择，自然会有相似的形式和结构。因此，笔者认为，牛顿莱布尼兹公式具有一定的普遍适用性。
我再把两者放到一起，供大家对比。
(x+a)^n=∑_(k=0)n▒〖(n¦k) x^k a^(n-k) 〗

1.7.2 复合维度的运算
一阶微分具有形式不变性，那么高阶微分具有不变性吗？
这个问题很好解答，在二阶微分的环境下，如果真的具有形式不变性，那么应该使得f(x) 的二阶倒数为两个自变量为子函数的母函数的积，也就是让f’(g(x)) = f’(x) ，需要让g(x)=x，但是这种情况不能概述总体，所以，二阶微分不具有形式不变形。推广到高阶微分也同样不具有，除非子函数全等于x 。
仔细研究这个过程，我们先使用 d^nf(x) = f^n(x)• dx ，也就是R_3；再用求复合函数导数的方法，也就是R_2；最后，如果有函数的四则运算，就再求R_1。也就是说，运算的时候，应该先从高维度开始。
当然，实际上我们可以把这三个维度进行任意组合。但运算的顺序是不变的。
1.8 维度概念的拓展
1.8.1 一个可能存在的R引发的思考
笔者之所以对以上运算关系进行了维度划分，就是因为看到了牛莱公式的普适性。其实牛顿二项式的存在也让我曾有过这样的想法：会不会存在一个R_x，让n作为次方出现在维度的概念中？
可能存在，也可能不在……
当我系统的挖掘了维度观念在数学微分微商中的应用后，我突然发现。我们无法真正确切地穷举出所有的维度。这些维度像许多异世界，它们实际和我们存在这某种关联，我们却无法察觉。人类的视觉是三维的，大多数人只能理解到四维或者五维的世界。我们划分维度，是为了更简洁地思考。就像计算机有核心信息、硬件、软件等等，每个群体研究不同的层次，才使得信息行业蓬勃发展。
学过《线性代数》的同学一定知道，映射的概念不仅存在于数字之间，一次线性变换后，甚至维度都可以发生改变。我于是思考，我们为什么不能拓展维度的定义，反而要纠结于准确的维度定义而约束我们的思考呢？
维度，其实也是我们思考的彼此相互关联的角度……

1.8.2 对于维度的划分
如刚才所言，维度其实界限并不是那么明显。就如同直线、射线、线段虽然都归为二维平面内的项目，但实际上也有可能做进一步的类别划分。因为直线可以看作是无限个趋向于两个无穷的线段；而射线可以看成是无限个趋向于一个无穷的线段。并且线段是组成直线和射线的基本元素，却永远无法真正意义到达它们的层次。难道，从这个角度看，不能把它们进一步做层次划分吗？
我们也许可以把每个维度进行进一步离散。而且离散维度本身意义不大，因为现实世界很多物体和信号是连续的，难以离散完全，我们划分维度是为了思考的层次。就如同温度计的水银，它的变化值是连续的，而反馈在我们眼里的往往是一位小数。我们不需要太精确，因为，我们的目标是利用这一工具来解决问题。这点还可以从最小二分法得证，我们永远不会取中点到尽头，只取到我们需要研究的层次即可。所以，我认为，这种新颖的办法无可厚非。

最小二分法

1.9 总结
数学充满和谐、简练和奇巧之美。数学大千世界,使人流连忘返,欲罢不能。而探索知识的漫漫长路上，从来都不乏假说。那些被演绎的思维精粹，积淀下来，成为历史宝库的珍宝；那些失败的假想，有的成为重要的思维财富，有的则成为数学家们谈笑风生的素材彰显着数学独特的魅力。无论是累累果实还是伤痕疮疤，它们都目视着人类对真理一步步的探索。

数学的魅力

无论用维度来解释微分微商是否合理，我都认为本文带给读者一点思考、激发一些灵感，开拓数学学习新方式。
1.10 参考
《高等数学》，北京大学出版社，李忠、周建莹编著
注明
由于简书和office的兼容性问题，有一些符号并不如您所见。如下标会在简书中体现成为下划线加项目；导数和上标会插进 ^ ，如果读者对于格式有严格的要求，可以联系笔者，下载office版本。
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