第六讲中值定理

这一讲的内容主要考证明题

中值定理总共分三个部分：涉及函数的中值定理，涉及导数的定理以及涉及积分的定理

第一部分涉及函数的中值定理

$\begin{cases}有界与最值定理\\介值定理\\平均值定理\\零点定理\end{cases}$
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

有界与最值定理： $m\le f(x)\le M$ ，其中，m，M分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，即连续必有界
介值定理：当 $m\le \mu \le M$ 时，存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得 $f(\xi)=\mu$
平均值定理：当 $a\lt x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n\lt b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$
（多个函数值相加的时候可以考虑使用平均值定理）
零点定理：当 $f(a)\cdot f(b)\lt 0$ 时，存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $f(\xi)=0$

第二部分涉及导数的中值定理(必考)

$\begin{cases}费马定理\\罗尔定理\\拉格朗日中值定理\\柯西中值定理\\泰勒公式\end{cases}$

费马定理：设 $f(x)$ 满足在点 $x_0$ 处可导并且取极值，则 $f'(x_0)=0$

证明 $\color{red}{(需要掌握)}$
$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
不妨设 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点，则在邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 内有， $f(x) \le f(x_0)$ ，故
在区间 $(x_0-\delta,x_0)$ 内， $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$
在区间 $(x_0,x_0+\delta)$ 内， $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le 0$
由极限的保号性可知
$\lim_{x\to x^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$
$\lim_{x\to x^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$
因为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，所以有
$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$
故 $f'(x_0)=0$

费马定理通常用在证明函数某点导数等于零的考题中，使用费马定理只需说明可导函数的最值在区间内部取到

例题
$\color{red}{(导数零点定理)}$ 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，证明当 $f_+'(a)\cdot f_-'(b)\lt 0$ 时，存在 $\xi\in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$
不妨设 $f'_+(a)>0,f'_-(b)<0$
$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt 0$
$f'_-(a)=\lim_{x\to b^-}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\lt 0$
由极限的保号性可得
$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\gt 0$
$\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\lt 0$
故 $f(x)\gt f(a),f(x)\gt f(b)$
$\therefore f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内部取得极大值，设为 $x=x_0$ 处，由费马定理可得 $f'(x_0)=0$

罗尔定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则存在 $\xi\in (a,b)$ ，使得 $f'(\xi)=0$
使用罗尔定理的难点在于证明端点的函数值相等，如果区间的端点不可取，那么端点的函数值可以用相应的左右极限代替，如果极限不存在，但是两个端点趋向相同方向的无穷大也可以使用罗尔定理
当然，一般的考题形式并不是直接在原式上使用罗尔定理，而是需要构建一个辅助函数，也就是要弄清楚对哪个函数使用罗尔定理

构造辅助函数的一般方法一般都是乘积求导公式 $(uv)'=u'v+uv'$ 的逆用：

题干形式为 $f(x)f'(x)$ ，作 $F(x)=f^2(x)$
题干形式为 $[f'(x)]^2+f(x)f''(x)$ ，作 $F(x)=f(x)f'(x)$
题干形式为 $f'(x)+f(x)\varphi'(x)$ ，作 $F(x)=f(x)e^{\varphi(x)}$
$\varphi(x)=x$ ，对应的题干形式为 $f'(x)+f(x)$
$\varphi(x)=-x$ ，对应的题干形式为 $f'(x)-f(x)$
$\varphi(x)=kx$ ，对应的题干形式为 $f'(x)-kf(x)$

例题1
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=f(1)=0,f(\frac{1}{2})=1$ ，证明
(1)存在 $\eta\in(\frac{1}{2},1)$ ，使得 $f(\eta)=\eta$
令 $G(x)=f(x)-x$
则 $G(\frac{1}{2})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\gt 0$
$G(1)=f(1)-1=0-1=-1\lt 0$
由介值定理可知，存在一点 $\eta\in(\frac{1}{2},1)$ ，使得 $G(\eta)=0$ ，即 $f(\eta)=\eta$
(2)证明对于 $\lambda,\exists\xi\in(0,\eta)$ ，使得 $f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$
令 $F(x)=(f(x)-x)e^{\lambda x}$
$\because F(0)=F(\eta)=0$
$\therefore \exists\xi\in(0,\eta)$ 使得 $F'(\xi)=0$ ，即
$e^{\lambda x}(f'(\xi)-1-\lambda[f(\xi)-\xi]=0$
$f'(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$

拉格朗日中值定理：设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
拉格朗日中值定理的几何意义：端点割线的斜率与区间某一点的切线斜率相等

题干中出现类似 $f-f$ 形式的结构时，可以考虑使用拉格朗日中值定理解决；题干中出现了原函数与导函数的关系式时，也可以使用拉格朗日中值定理解决

例题2
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内有二阶导数，且满足 $2f(0)=\int_0^2f(x)dx=f(2)+f(3)$ ，证明
(1)存在 $\eta\in(0,2)$ ，使得 $f(\eta)=f(0)$
令 $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ ，则 $F(0)=0,F(2)=2f(0)$
由拉格朗日中值定理可得，存在 $\eta\in(0,2)$
$F(2)-F(0)=F'(\eta)(2-0)$
$2f(0)=2f(\eta)$
$f(0)=f(\eta)$
(2)存在 $\xi \in(0,3)$ ，使得 $f''(\xi)=0$
由平均值定理可得： $\exists t\in [2,3],\frac{f(2)+f(3)}{2}=f(t)$
$\because f(0)=\frac{f(2)+f(3)}{2}$
$\therefore f(t)=f(0)$
故 $\exists \xi_1\in(0,\eta),f'(\xi_1)=0,\exists\xi_2\in(\eta,\xi),f'(\xi_2)=0$
$\because f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$
$\therefore \exists \xi,f''(\xi)=0,\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(0,3)$

如果题目中要求计算出两个不同的中值，那么就需要划分出两个不同的区间

例题
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0,f(1)=1$ ，证明存在两个不同的 $\xi_1,\xi_2\in(0,1)$ ，使得 $\frac{1}{f'(\xi)}+\frac{1}{f'(\xi)}=2$
设在区间 $(0,t)$ 内， $\frac{1}{f('\xi_1)}=\frac{t}{f(t)}$
在区间 $(t,1)$ 内， $\frac{1}{f'(\xi_2)}=\frac{1-t}{1-f(t)}$
令 $\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=2$
则 $f(t)=\frac{1}{2}$
由平均值定理可知存在 $t\in(0,1)$ ，使得 $f(t)=\frac{f(0)+f(1)}{2}=\frac{1}{2}$

柯西中值定理：设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x)\ne 0$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

令 $g(x)=x$ ，则柯西中值定理可得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f'(\xi)}{1}$ ，即拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一个特例

泰勒公式： $\color{red}{(考察重点)}$

带拉格朗日余项的n阶泰勒公式
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内 $n+1$ 阶导数存在，则对该邻域内的任意一点 $x$ ，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}$
带佩亚诺余项的n阶泰勒公式
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x_0$ 的一个邻域，对该邻域内的任意点，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f'(x_0)(x-x_0)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

[注]：佩亚诺余项是高阶无穷小，也就是说只有当 $x\to x_0$ 的时候，才能用带佩亚诺余项的泰勒公式；而带拉格朗日余项的泰勒公式用于计算区间内的中值。

拉格朗日余项中的 $\xi$ 介于 $x_0$ 到 $x$ 之间，也就是说 $\xi$ 是一个关于x的函数，所以并不能将 $f^{(n+1)}(\xi)$ 作为一个常数进行处理

当 $x_0=0$ 的时候，泰勒公式也称为麦克劳林公式

例题
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导， $f'(x_0)=0,f''(x_0)\lt0$ ，则证明 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)$
$f(x)-f(x_0)=\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)\le 0$
$f(x)\le f(x_0)$
即 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值

例题 $\color{red}{(难度较高)}$
设 $f(x)$ 在区间 $[a,-a]$ 上具有二阶连续导数，f(0)=0，证明，存在 $\eta\in[-a,a]$ ，使得 $a^3f''(\eta)=3\int_{-a}^af(x)dx$
使用带拉格朗日余项的泰勒展开得
$f(x)=f'(0)x+\frac{f''(\xi)}{2}x^2$
$\int_{-a}^af(x)dx=f'(0)\int_{-a}^axdx+\int_{-a}^a\frac{f''(\xi)}{2}x^2dx$
$\because \int_{-a}^axdx=0$
$\therefore \int_{-a}^af(x)dx=\int_{-a}^a\frac{f''(\xi)}{2}x^2dx$
由于 $f(x)$ 的二阶导数在 $[-a,a]$ 上是连续的，而连续必有有界，所以有
$m\le f''(\xi) \le M$
$\int_{-a}^amx^2dx\le \int_{-a}^af''(\xi)x^2dx \le \int_{-a}^aMx^2dx$
$\frac{m}{3}a^3\le\int_{-a}^af(x)dx \le \frac{M}{3}a^3$
$m\le \frac{3}{a^3}\int_{-a}^af(x)dx \le M$
由介值定理可得， $\exists\eta\in[-a.a],f''(\eta)=\frac{3}{a^3}\int_{-a}^af(x)dx$
$a^3f''(\eta)=3\int_{-a}^af(x)dx$

常见函数形式的联系：

$\int_a^bf(x)dx\leftarrow$ 积分 $\to f(x)\leftarrow$ 拉格朗日中值定理 $\to f'(x)\leftarrow$ 泰勒公式 $\to f''(x)$

[注]：如果函数在某一个区间内导数存在，那么这个导函数在此区间内上要么存在振荡间断点，要么是连续的。因此有
(导数介值定理)： $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可导，且 $f'(a)\en f'(b)$ ，则此区间的导函数能够取到 $f'(a)$ 到 $f'(b)$ 内的任意一个值

第三部分涉及积分的中值定理

积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi\in[a,b]$ 使得，
$\int_a^bf(x)dx=f'(\xi)(b-a)$ ，或写成 $f(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

证明：
设当 $x\in[a,b]$ 时， $m\le f(x)\le M$
则 $m \le f(x) \le M$
$mdx \le f(x) \le Mdx(dx\gt 0)$

$\int_a^bmdx \le\int_a^b f(x)dx\le \int_a^bMdx$
$m(b-a)\le\int_a^bf(x)dx \le M(b-a)$
$m\le \frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\le M$
由介值定理可知存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得 $m\le f(\xi) \le M$
则 $f(\xi)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$
$f(\xi)(b-a)=\int_a^bf(x)dx$
此定理也可通过构造函数 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ ，然后用拉格朗日定理证明在开区间上也是成立的

[注]：前面的涉及函数的平均值定理和这里的积分中值定理，实际上是平均值定理的两个不同的形式。
平均值定理 $\begin{cases}离散:f(\xi)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(x_i)\\连续:f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\end{cases}$

当题干中出现 $\int_b^af(x)dx$ 时，一般会用到两种解决方式
$\begin{cases}积分中值定理：f(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\\令F(x)=\int_a^xf(t)dt\end{cases}$

第六讲 中值定理

第一部分 涉及函数的中值定理

第二部分 涉及导数的中值定理(必考)

常见函数形式的联系：

第三部分 涉及积分的中值定理

第六讲中值定理

第一部分涉及函数的中值定理

第二部分涉及导数的中值定理(必考)

第三部分涉及积分的中值定理