这次是介绍混合线性模型的一些基础特性
简介
从线性模型变转变为混合模型，是为解决实际问题
- 公牛的育种值
- 需要以无偏的方式区分影响产奶量的遗传和非遗传效应（估计育种值）
混合模型是在康奈尔大学建立的， 为什么在这里？
- 进行奶牛记录的组织机构（数据）
- AI 中心（资金）
- 杰出的科学家：统计学家 - S.R. Searle 和遗传学家- C.R. Henderson
什么是混合模型
首先对线性模型（y = Wb + e ）拓展,W → [X Z]
modeling y(对于E(y) 和var(y))
是有选择指数算法（SI）和广义线性（GLS）的结合
一般的矩阵方程
** y = Xβ + Zu + e **
其中： y 为观测值vector（已知）； β 为fixed effects（未知）; u 为random effects（未知）; e为残差（未知）; X与Z 为关联y与β，u的矩阵（已知）
根据y的建模，求出的目标为： β, u,
一般矩阵方程的具体介绍
** y = Xβ + Zu + e **
X 和Z
- 是关联y 与 β，u
- 每个性状* 效应* 水平都占据一列
- 每个观察值为行
如 X = [1 0 24
0 1 34
1 0 23
1 0 27]
表示为：4个观察值在2个牛场（前2列），第3列是产犊年龄；
Z(animals w/o, with records)
Z = [1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0] 这表明5个动物，且前4个动物均只有1个观察值，最后一个动物没有观察值， 应该是按列放置
混合模型有可以成为混合方程组（Mixed model equations, MME)
或者简写 Cs = r
需要已知各个未知变量的(co)variances（方差组分）：
- Var(e) = R(残差的方差-协方差矩阵),
- Var(u) = G((co)variances among random effects ),
- Var(y) = ZGZ' + R ((co)variances among observations)
MME也假设其已知上述R和G
但在实际分析中，必须需要先估计以上所有未知参数的(co)variances（最花时间的部分）
估计(co)variances（R与G），现行主流的一些算法：
1. REML（DF-, EM-, AI-.. 都是基于Maximum Likelihood）
2. MCMC("Gibbs Sampling")
3. Others as Method R(基于BLUP properties) （个人没使用过）
variance components estimation(VCF) methods on their own => special class
上述3种的主流算法以后再详细介绍
回归正题，接着看MME： y = Xβ + Zu + e ，
如果简写为： y = Wb +e（类似OLS）
则上述两个式子都求解：
注意这里W = [ X Z]
这个 u 的估计量有两个主要的不足：
-
对 u 的估计不考虑 SI 中的回归，因为并非所有都被传输：
image.png
其是通过将矩阵形式展开，再需要将β带入到u的式子中，得到
-
- u和y之间的covariances（没有考虑不同家庭之间的关系）
比较OLS与SI解出的u
怎么比较uOLS 和uSI?
是需要比较(Z'Z)-1Z' 与Cov(u,y)(Var(y))-1
因为：
Cov(u,y) = GZ' = AZ'(σg)2 ;
Var(y) = V = ZGZ'+R = ZAZ'(σg)2+ I (σe)2
所以带入下公式：
得到：
其中, A为系谱关系矩阵， 在sir model中λ= (4-h2)/h2. sir 传给后代的1/2， 所以遗传方差为1/4
但是当所有个体无关时， A=I
则：
SI的u 可以转为：
根据他们的女儿选择公牛
两个无亲缘关系的公牛S 和T，均有三个女儿，其六个女儿的母牛也没有亲缘关系
我们想计算这两个公牛对各自儿女表型的遗传贡献
采两种计算方法：
- OLS:即女儿偏差的估计
- SI：计算对虐女儿的贡献，需要假设E(y)已知
数据如下：
SI
给出如下定义：
则表型值y的方差结构：
y的协方差结构：
y的方差-协方差矩阵：
根据前面的公式：Var(y) = ZZ'(σg)2+ I (σe)2
Cov(u,y)的方差协方差矩阵：
使用SI解出：
选择指数的权重：
根据
两种方法结果的比较：
相等模型
- 平均值和方差组分相等
- 解应该也相同
OLS, GLS, SI, MME的转化
SI: 最小化预测Var(T-I)的误差方差 ， 同时也最大T与I的相关
OLS： 最小误差方差，最终由观测值（残差）的方差加权
GLS： 最小化权重误差方差（最小二乘）， 参考观测值之间的协方差
MME: mixed models, 同时最小化误差方差和random effectde 预测误差方差
BLUP是由SI演变而来
