微分方程-常系数线性方程组

常系数线性方程组

对于线性方程组，只要得到了相应的齐次线性方程组的基本解组，我们就可以常数变易公式给出他的通解. 因此本节主要给出常系数齐次线性方程组的基本解组的求解方法.

将常系数齐次线性方程组表述为矩阵形式

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\quad(4.14)$

由于需要考虑特征值，因此我们在复数域讨论方程组（4.14）. 简记列向量 $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$ 和 $n\times n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij}).$ 同样用 Euler 指数函数法，设（4.14）有如下形式的特解：

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}e^{\lambda t}\quad(4.15)$

其中 $\lambda\in\mathbb{C}$ 和非零向量 $\boldsymbol{c}=(c_1,c_2,\cdots,c_n)^T\in \mathbb{C}^n$ 都是待定的. 将（4.15）带入（4.14）得

$(\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\quad(4.16)$

从而化成了线性代数中求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda$ 和相应的特征向量 $\boldsymbol{c}$ 的问题. 方程组（4.14）有非零解当且仅当系数行列式 $\det(\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{c}=0$ . 我们称 $\det(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=0)$ 为特征方程.

定理 4.4

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个彼此互异的特征根 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ，则方程组（4.14）有基本解组 $\boldsymbol{c}^{(1)}e^{\lambda_1t},\boldsymbol{c}^{(2)}e^{\lambda_2t},\cdots,\boldsymbol{c}^{(n)}e^{\lambda_nt}$ ，其中 $\boldsymbol{c}^{(1)}，\boldsymbol{c}^{(2)},\cdots,\boldsymbol{c}^{(n)}$ 使分别相应于 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 的特征向量.

定理的证明是根据十分基本的线性代数知识，在定理的条件下矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，对应的特征向量 $\boldsymbol{c}^{(1)}，\boldsymbol{c}^{(2)},\cdots,\boldsymbol{c}^{(n)}$ 是线性无关的并构成 $\mathbb{C}^n$ 的一组基.

较困难的问题是上述 $\boldsymbol{A}$ 不可对角化的情形. 在一般情况下 $\boldsymbol{A}$ 的特征方程可以有重根，故 $\boldsymbol{A}$ 只能在 $\mathbb{C}$ 上化成 Jordan 标准型. 我们将引入矩阵指数函数的方法.

因为这部分内容比较多，所以分为三个部分

[矩阵指数函数]
[标准解矩阵的初等表达]
[重特征根情形结论]

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