矩阵向量求导

1. 符号说明

默认符号：

$x$ ：标量
$\mathbf{x}$ : $n$ 维列向量
$\mathbf{y}$ : $m$ 维列向量
$X$ ： $m \times n$ 矩阵
$Y$ ： $p \times q$ 矩阵

2. 矩阵向量求导布局

自变量\因变量	标量 $y$	向量 $\mathbf{y}$	矩阵 $\mathbf{Y}$
标量 $x$	/	$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x}$ 分子布局：m维列向量（默认）分母布局： $m$ 维行向量	$\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial x}$ 分子布局：p × q矩阵（默认）分母布局： $q \times p$ 矩阵
向量 $\mathbf{x}$	$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}}$ 分子布局： $n$ 维行向量分母布局：n 维列向量（默认）	$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$ 分子布局：m × n 雅克比矩阵（默认）分母布局： $n \times m$ 梯度矩阵	/
矩阵 $\mathbf{X}$	$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{X}}$ 分子布局： $n \times m$ 矩阵分母布局：m × n 矩阵（默认）	/	$\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}}$ 分母布局：mn × pq 矩阵

3. 矩阵向量求导大全

自变量\因变量	标量 $y$	向量 $\mathbf{y}$	矩阵 $\mathbf{Y}$
标量 $x$	$\frac{\partial y}{\partial x}$ 大学微积分知识	$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial x}$ 定义法求导	$\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial x}$ 定义法求导
向量 $\mathbf{x}$	$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}}$ 1. 定义法求导 2. 基本法则：线性法则、乘法法则、除法法则 3. 矩阵微分： $df = tr\left( \left( \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \right)^{T} d\mathbf{x} \right )$ 4. 链式法则： $\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}} = \left( \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}\right)^{T} \frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$	$\frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$ 1. 定义法求导 2. 链式法则： $\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}} \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$	——
矩阵 $\mathbf{X}$	$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{X}}$ 1. 定义法求导 2. 矩阵微分： $df = tr\left( \left( \frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}} \right)^{T} d\mathbf{X} \right )$ 3. 矩阵微分性质 4. 迹技巧 5. 链式求导法则： $\frac{\partial z}{\partial x_{ij}} = \sum_{k,l} \frac{\partial z}{\partial \mathbf{Y}_{kl}} \frac{\partial \mathbf{Y}_{kl}}{\partial \mathbf{X}_{ij}} = tr \left( \left( \frac{\partial z}{\partial \mathbf{Y}} \right)^{T} \frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}_{ij}} \right)$	——	$\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}}$ 1. 定义： $\frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial vec \left(\mathbf{Y} \right)}{\partial vec \left(\mathbf{X} \right)}$ 2. 微分法： $vec(d \mathbf{Y}) = \frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}}^{T}vec \left(d \mathbf{X} \right)$ 3. 运算法则

4. 标量对向量求导

已知：
$y = f(\mathbf{x})$
求：
$\frac{\partial y}{\partial \mathbf{x}} = ?$

4.1 定义法求导

所谓标量对向量的求导，其实就是标量对向量里的每个分量分别求导，最后把求导的结果排列在一起，按一个向量表示而已。那么我们可以将实值函数对向量的每一个分量来求导，最后找到规律，得到求导的结果向量。

例1： $y = \mathbf{a}^{T} \mathbf{x}$
$\frac{\partial \mathbf{a}^{T} \mathbf{x}}{\partial x_{i}} = \frac{\partial \sum_{j=1}^{n}a_{j}x_{j}}{\partial x_{i}} = \frac{\partial a_{i}x_{i}}{\partial x_{i}} = a_{i}$
所以，将求导结果组成向量：
$\frac{\partial \mathbf{a}^{T} \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}} = \mathbf{a}$

4.2 标量对向量求导基本法则

1_标量对向量求导基本法则.png

4.3 通过向量微分求导

利用导数和微分之间的关系：
$df = \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} = \left( \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \right)^{T}d\mathbf{x}$

例： $y = \mathbf{x}^{T} \mathbf{x}$
$\begin{eqnarray*} dy &=& d \left( \mathbf{x}^{T} \right)\mathbf{x} + \mathbf{x}^{T} d\mathbf{x} \\ &=& \left(d \mathbf{x}\right)^{T} \mathbf{x} + \mathbf{x}^{T} d\mathbf{x} \\ &=& \mathbf{x}^{T} d\mathbf{x} + \mathbf{x}^{T} d\mathbf{x} \\ &=& 2\mathbf{x}^{T} d\mathbf{x} \end{eqnarray*}$
所以，根据导数与微分的联系：
$\frac{\partial \mathbf{x}^{T} \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}} = 2 \mathbf{x}$

4.4 标量对多个向量的链式求导法则

若标量 $z$ 和向量 $\mathbf{x ,y}$ 之间的依赖关系为： $\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{y} \rightarrow z$ ，则：
$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{x}} = \left( \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}} \right)^{T}\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}}$
推广到多个向量的情况， $\mathbf{y}_{1} \rightarrow \mathbf{y}_{2} \rightarrow \cdots \mathbf{y}_{n} \rightarrow z$ ，则有：
$\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}_{1}} = \left( \frac{\partial \mathbf{y}_{n}}{\partial \mathbf{y}_{n-1}} \frac{\partial \mathbf{y}_{n-1}}{\partial \mathbf{y}_{n-2}} \cdots \frac{\partial \mathbf{y}_{2}}{\partial \mathbf{y}_{1}}\right)^{T}\frac{\partial z}{\partial \mathbf{y}_{n}}$

5. 标量对矩阵求导

已知：
$y = f(X)$
求：
$\frac{\partial y} {\partial X} = ?$

5.1 定义法求导

与标量对向量求导类似，标量对矩阵里的每个分量分别求导，最后把求导的结果排列在一起，用一个矩阵表示而已。

例： $y = \mathbf{a}^{T}X\mathbf{b}$ ，求 $\frac{\partial y}{\partial X}$

先对矩阵 $X$ 的任意一个位置的 $X_{ij}$ 求导：
$\frac{\partial \mathbf{a}^{T}X\mathbf{b}}{\partial X_{ij}} = \frac{\partial \sum_{p=1}^{m}\sum_{q}^{n}a_{p}X_{pq}b_{q}}{\partial X_{ij}} = \frac{\partial a_{i}X_{ij}b_{j}}{\partial X_{ij}} = a_{i}b_{j}$
将所有位置求导结果排成 $m \times n$ 矩阵，得：
$\frac{\partial \mathbf{a}^{T}X\mathbf{b}}{\partial X} = \mathbf{ab}^{T}$

5.2 通过矩阵微分求导

一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分之间的关系：
$df=f^{\prime}(x)dx$
多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）与微分之间的关系：
$df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} = \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}^{T}d\mathbf{x}$
矩阵导数与微分之间的关系：
$\color{#c63c26}{df=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^{T}dX \right)}$
利用导数与微分，以及迹技巧，可以求得标量函数 $f$ 对于矩阵 $X$ 的导数：

对标量函数 $f$ 求微分，需用到矩阵微分运算法则；
使用迹技巧，对 $df$ 套上迹，再将其它项移至 $dX$ 左侧；
对照导数与微分之间的联系，可求得 $\frac{\partial f}{\partial X}$

注：标量对矩阵的求导不能随意沿用标量的链式求导法则。

5.3 矩阵微分运算法则

矩阵加减法	法则	示例
矩阵加减法	$d(X \pm Y) = dX \pm dY$
矩阵乘法	$d(XY) = (dX)Y + X(dY)$
矩阵转置	$d(X^{T}) = (dX)^{T}$
矩阵的迹	$d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)$
矩阵的逆	$\color{#c63c26}{dX^{-1} = -X^{-1}dXX^{-1}}$
行列式	$d$ \| $X$ \| $= \text{tr}(X^{\#}dX)$	$X^{\#}$ 是 $X$ 的伴随矩阵
逐元素相乘	$d(X \odot Y) = dX \odot Y + X \odot dY$
逐元素函数	$d \sigma(X) = \sigma^{\prime}(X) \odot dX$	$d\text{sin}(X) = \text{cos}(X) \odot dX$

5.4 迹技巧（trace trick）

运算	法则	备注
标量套上迹	$a=\text{tr}(a)$
转置	$\text{tr}(A^{T}) = \text{tr}(A)$
线性	$\text{tr}(A \pm B) = \text{tr}(A) \pm \text{B}$
矩阵乘法交换	$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$	$A$ 与 $B^{T}$ 维度相同，两侧都等于 $\sum_{ij}A_{ij}B_{ji}$
矩阵乘法/逐元乘法交换	$\text{tr}(A^{T}(B \odot C)) = \text{tr}((A \odot B)^{T}C)$	$A,B,C$ 尺寸相同，两侧都等于 $\sum_{ij}A_{ij}B_{ij}C_{ij}$

5.5 标量对多个矩阵的链式求导法则

假设有这样的依赖关系： $X \rightarrow Y \rightarrow z$ ，很难给出矩阵基于矩阵整体的链式求导法则，可以给出关于 $X$ 中某一标量的链式求导：
$\frac{\partial z}{\partial X_{ij}} = \sum_{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}}\frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}} = tr \left( \left( \frac{\partial z}{\partial \mathbf{Y}} \right)^{T} \frac{\partial \mathbf{Y}}{\partial \mathbf{X}_{ij}} \right)$

5.6 计算示例

例1： $f=\mathbf{a}^{T}X\mathbf{b}$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\mathbf{a}$ 是 $m \times 1$ 列向量， $X$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\mathbf{b}$ 是 $n \times 1$ 列向量。

Step1: 使用矩阵乘法法则求微分：
$df = d\mathbf{a}^{T}X\mathbf{b} + \mathbf{a}^{T}dX\mathbf{b} + \mathbf{a}^{T}Xd\mathbf{b} = \mathbf{a}^{T}dX\mathbf{b}$
这里因为 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 是常量，所以 $d\mathbf{a}=0,d\mathbf{b}=0$

Step2: 套上迹，并做矩阵乘法交换：
$df = \text{tr}(\mathbf{a}^{T}dX\mathbf{b}) = \text{tr}(\mathbf{b}\mathbf{a}^{T}dX) = \text{tr}\left((\mathbf{a}\mathbf{b}^{T})^{T}dX \right)$

Step3：对照导数与微分之间的联系：
$\frac{\partial f}{\partial X} = \mathbf{a}\mathbf{b}^{T}$

例2： $f=\mathbf{a}^{T} \text{exp}(X \mathbf{b})$ ，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。

Step1: 使用矩阵乘法法则求微分：
$df = \mathbf{a}^{T} \left(\text{exp}(X \mathbf{b}) \odot (dX \mathbf{b}) \right)$
Step2: 套上迹，并做矩阵乘法交换：
$\begin{eqnarray*} df &=& \text{tr} \left( \mathbf{a}^{T} \left(\text{exp}(X \mathbf{b}) \odot (dX \mathbf{b}) \right) \right) \\ &=& \text{tr} \left( \left( \mathbf{a} \odot \text{exp}(X \mathbf{b}) \right)^{T} dX \mathbf{b} \right) \\ &=& \text{tr} \left( \mathbf{b} \left( \mathbf{a} \odot \text{exp}(X \mathbf{b}) \right)^{T} dX \right) \\ &=& \text{tr} \left( \left( \left( \mathbf{a} \odot \text{exp}(X \mathbf{b}) \right)\mathbf{b}^{T} \right)^{T} dX \right) \end{eqnarray*}$
Step3：对照导数与微分之间的联系：
$\frac{\partial f}{\partial X} = \left( \mathbf{a} \odot \text{exp}(X \mathbf{b}) \right)\mathbf{b}^{T}$

例3【线性回归】 $l=\left\| X \mathbf{w - y} \right\|^{2}$ ，求 $\mathbf{w}$ 的最小二乘估计。其中 $\mathbf{y}$ 是 $m \times 1$ 列向量， $X$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\mathbf{w}$ 是 $n \times 1$ 列向量， $l$ 是标量。

Step1: 将向量模平方改成向量与内积形式：
$l = \left( X \mathbf{w - y} \right)^{T}\left( X \mathbf{w - y} \right)$
Step1: 使用矩阵乘法法则求微分：
$\begin{eqnarray*} dl &=& \left( X d\mathbf{w} \right)^{T} \left( X \mathbf{w - y} \right) + \left( X \mathbf{w - y} \right)^{T} \left( X d\mathbf{w} \right) \\ &=& 2\left( X \mathbf{w - y} \right)^{T} \left( X d\mathbf{w} \right) \\ \\ &\because & X d\mathbf{w}\space X \mathbf{w - y} \space \text{are coloum vector} \\ &\therefore & \left( X d\mathbf{w} \right)^{T} \left( X \mathbf{w - y} \right) = \left( X \mathbf{w - y} \right)^{T} \left( X d\mathbf{w} \right) \end{eqnarray*}$
Step2: 套上迹，并做矩阵乘法交换：
$dl = \text{tr} \left( \left(2X^{T} \left(X \mathbf{w - y} \right)\right)^{T}d\mathbf{w} \right)$
Step3：对照导数与微分之间的联系：
$\frac{\partial l}{\partial \mathbf{w}} = 2X^{T} \left(X \mathbf{w - y} \right)$
Step3：求 $\mathbf{w}$ 的最小二乘估计
$\frac{\partial l}{\partial \mathbf{w}} = 2X^{T} \left(X \mathbf{w - y} \right) = 0\\ \mathbf{w} = (X^{T}X)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

6. 向量对向量求导

向量对向量的求导比较麻烦， $m$ 为列向量 $\mathbf{y}$ 对 $n$ 维列向量 $\mathbf{x}$ 求导，那么一共有 $mn$ 个标量对标量的求导。

分子布局（numerator layout）：

求导结果矩阵的第一个维度以分子为准，结果是一个 $m \times n$ 矩阵，一般叫作雅克比矩阵。

分母布局（denominator layout）：

求导结果矩阵的第一个维度以分母为准，结果是一个 $n \times m$ 矩阵，一般叫作梯度矩阵。

对于机器学习算法原理中的推导，究竟是采用什么布局一般是隐含的，需自己推导。本文以分子布局的雅克比矩阵为主。

6.1 定义法求导

例： $\mathbf{ y } = A \mathbf{ x }$ ，其中 $A$ 是 $n \times m$ 的矩阵， $\mathbf{x,y}$ 分别是 $m,n$ 维例向量。

Step1: 先求 $\mathbf{y}$ 的第 $i$ 个分量对 $\mathbf{x}$ 的第 $j$ 个分量的导数：
$\frac{\partial A_{i} \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}_{j}} = \frac{\partial A_{ij} x_{j}}{\partial \mathbf{x}_{j}} = A_{ij}$
Step2: 将每个标量求导结果排列成矩阵，这里用分子布局：
$\frac{\partial A \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}_{j}} = A$

6.2 向量对向量求导的链式法则

若向量之间有这样的依赖关系： $\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{y} \rightarrow \mathbf{z}$ ，则有下面的链式求导法则：
$\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{y}} \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{x}}$

7. 矩阵对矩阵求导

7.1 矩阵对矩阵求导定义

$\frac{\partial F}{\partial X}$ ， $F:p\times q$ ， $X:m \times n$ 矩阵 $F$ 中的 $pq$ 个元素要分别对矩阵 $X$ 中的 $mn$ 个元素求导，那么求导结果一共会有 $mnpq$ 个元素。求导结果的排列有很多种。这里只介绍目前主流的做法。

目前主流的矩阵对矩阵求导定义是对矩阵先做向量化，然后再使用向量对向量的求导。而这里的向量化一般是使用列向量化。也就是说，现在我们的矩阵对矩阵求导可以表示为：
$\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial vec \left(F \right)}{\partial vec \left(X \right)}$
$vec(F)$ 的维度是 $pq \times 1$ 列向量， $vec(X)$ 的维度是 $mn \times 1$ 列向量。结果使用分母布局，得到一个 $\color{#c63c26}{mn \times pq}$ 的矩阵。

7.2 微分求导法

利用导数与微分的联系：
$vec(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^{T} vec(dX)$
求解步骤：

使用矩阵微分运算法则对矩阵 $F$ 求微分；
做向量化并使用迹技巧将其它项交换至 $vec(dX)$ 的左侧；
根据导数与微分关系，得到矩阵对矩阵的微分结果。

7.3 矩阵向量化的运算法则

性质	法则
线性性质	$vec(A+B) = vec(A) + vec(B)$
矩阵乘法	$vec(AXB) = \left( B^{T} \otimes A \right)vec(X)$
矩阵转置	$vec(A^{T}) = K_{mn}vce(A)$
逐元素乘法	$vec(A \odot X) = diag(A) vec(X)$

注：

$\otimes$ ：克罗内克(Kronecker)积， $A(m \times n)$ 与 $B(p \times q)$ 的克罗内克积是 $A \otimes B = [A_{ij}B](mp \times nq)$ ;

$K_{mn}$ ：交换矩阵。若 $vec(A)$ 是 $mn \times1$ 的列向量，则 $K_{mn}(mn \times mn)$ ，将按列优先的向量化变为按行优先的向量化；

$diag(A)(mn \times mn)$ 是用 $A$ 的元素（列优先）排成的对角阵。