四面体:2017年理数全国卷C题19 (12 分)
如图,四面体 中, 是正三角形, 是直角三角形,
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)过 的平面交 于点 ,若平面 把四面体 分成体积相等的两部分,求二面角 的余弦值.
【解答问题1】
作 中点 , 并连接 .
因为 是正三角形,, 所以 ,
又因为 , 所以
所以 是等腰直角三角形,所以
又因为点 是 中点,所以 (三线合一)
所以 是二面角 的平面角.
因为 , 所以 , 所以
所以 平面 平面 . 证明完毕.
【解答问题2】
连接 , 记 中点为 , 并连接 .
因为 , 所以 .
又因为 , 所以
根据前节结论可知:, , 而 , 所以 是正三角形,
又因为点 是 中点,所以
根据前节结论, , 所以 平面 , 所以
因为 , 所以 平面 , 是 在平面 内的投影.
令 , 则 ,
二面角 的余弦值