表象理论 - 简书

表象理论

Q表象

任意的分立谱表象。假设一个力学量算符 $Q$ ，以它的所有正交归一本征态矢构成了 $Q$ 表象。
$\hat{Q}|\varphi_n\rangle=q_n|\varphi_n\rangle$
在 $Q$ 表象中，任意态的表示为
${ |\psi\rangle=\sum_{n}\alpha_n|\varphi_n\rangle= \left[ \begin{matrix} \alpha_1\\\alpha_2\\\cdots\\\alpha_n\\\cdots \end{matrix} \right]\\ =\sum_{n}|\varphi_n\rangle\langle\varphi_n|\psi\rangle }$

猜测： $|\varphi_k\rangle$ 的长度不一定为n

任意算符F在Q表象中的表示 $|\Phi\rangle=F|\psi\rangle$

遗留问题：F和Q表象的关联暂时不明

设在Q表象中 $|\Phi\rangle=\sum_{n}c'_n|\varphi_n\rangle$ ， $|\varphi\rangle=\sum_{n}c_n|\varphi_n\rangle$

猜测：已知态矢 $|\Phi\rangle$ ， $|\varphi\rangle$ 在Q表象中的表示，求算符F？
猜测：态矢 $|\Phi\rangle$ 和 $|\varphi\rangle$ 中的n并无关联

假两者的n无关联，不妨设m，n，则有 $|\Phi\rangle=\sum_{m}c'_m|\varphi_m\rangle$ ， $|\varphi\rangle=\sum_{n}c_n|\varphi_n\rangle$

根据算符F在Q表象中的表示，两边同时左乘 $\langle\varphi_m|$ ，则有
${\because \langle\varphi_i|\varphi_j\rangle=0\\ c'_m=\sum_{n}c_n\langle\varphi_m|F|\varphi_n\rangle}$
记 $\langle\varphi_m|F|\varphi_n\rangle$ 为 $F_{mn}$ ，则 $c'_m=\sum_{n}F_{mn}c_n$
$\left[ \begin{matrix} c'_1\\c'_2\\\cdots \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} F_{11}&F_{12}&\cdots\\ F_{21}&F_{22}&\cdots\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} c_1\\c_2\\\cdots \end{matrix} \right]$
计算过程举例： $c'_1=\sum_{n}F_{1n}c_n$
$\left[ \begin{matrix} c'_1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} F_{11}&F_{12}&\cdots\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} c_1\\c_2\\\cdots \end{matrix} \right]$

坐标表象

$\hat{\vec{r}}|\vec{r}'\rangle=\hat{{r}}|\vec{r}'\rangle$
其中 $|\vec{r}'\rangle$ 是算符 $\hat{\vec{r}}$ 的本征态矢
对任意态的展开
$|\psi\rangle=\int|\vec{r}\rangle\langle\vec{r}|\psi\rangle d\vec{r}=\int\psi(\vec{r})|\vec{r}\rangle d\vec{r}$
其中的 $\psi(\vec{r})$ 是任意态 $|\psi\rangle$ 在 $\vec{r}$ 上的分量

动量表象

$\hat{\vec{p}}|\vec{p}'\rangle=\hat{{p}}|\vec{p}'\rangle$
其中 $|\vec{p}'\rangle$ 是算符 $\hat{\vec{p}}$ 的本征态矢
对任意态的展开
$|\psi\rangle=\int|\vec{p}\rangle\langle\vec{p}|\psi\rangle d\vec{p}=\int\psi(\vec{p})|\vec{p}\rangle d\vec{p}$
其中的 $\psi(\vec{p})$ 是任意态 $|\psi\rangle$ 在 $\vec{p}$ 上的分量

最后编辑于：2020.04.19 11:47:47