拉格朗日方程——by Tangwei
上篇的热力学量中，我们引入了哈密顿函数来分析系统的绝热过程，那么在了解哈密顿函数之前，我们先来了解一下拉格朗日函数及其在力学系统中的性质。拉格朗日力学是独立于经典牛顿力学的另外一种力学系统，拉格朗日引入了广义的概念，运用达朗贝尔原理，得到和牛顿第二定律等价的拉格朗日。但拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。
我们先简单给出关于力学上的一些基本的概念，比如运动系统的约束、广义坐标、广义速度、广义加速度以及虚位移等。对这些基本概念，我做了一些简要的归纳，以思维导图的形式给出。在文章的最后推导了拉格朗日方程及其形式。
一、约束与广义参量
我们下面用广义坐标表示约束，包括完整、非完整，线性非完整等。
如果取q1,q2,…,qn为系统广义坐标，对于完整约束，若还有剩余坐标qn+1, qn+2 ,…, qn+m,那么完整的约束方程（1）可表示为：
非完整约束方程（2）表示为：
线性非完整约束方程（3）表示为：
我们将（8）带入（3），可以得到（12）的系数：
我们找一个使得（12）式可积分的充分条件，那么注意到：
若满足（14）的条件，则（12）是可积的。再来看看，若找到一个fβ，这个fβ是所有qs和t的函数，并且满足：
那么（14）就能得到满足。
此时有：
对（16）积分，即得
所以（12）是可积的。
二、虚位移
虚位移的定义为：再给定的固定时刻，被所研究的点上的约束所允许的，所有假想的无限小位移。我们用δri或者δxi，δyi，δzi来表示，广义坐标的变分δqs也可以叫虚位移。拉格朗日在其专著中用了一个“virtuel” 这个词，并且也很明确的说明了dr和δr的区别。法文中“virtuel”的意思之一就是“虚的”。
1、完整约束
我们设坐标和时间的微分为dxi，dyi，dzi，dt，我们对（18）进行微分，得到（22）。
对于完整约束系统，独立坐标个数为n=3N-l，其变分为δq1，δq2，…，δqn，那么虚位移用广义坐标可表示为（23）：
有此可看出，对完整的力学系统，独立坐标（qs）的数目等于坐标的独立变分（δqs）数目。
2、线性非完整约束
假如力学系统除了受 l 个如（21）的完整约束外，还受有g个如（3）式的线性非完整约束，将（3）式变换为微分形式如下：
因为虚位移是力学系统的位置在某一时刻的相应变化，而时间是不变的，所以（24）中可用δ代替d，且δt=0，于是：
这就是线性非完整约束加在虚位移上的条件。我们观察（24）和（25）可知，dβ=0时，约束方程对速度是齐次的，此时实位移是虚位移中的一个。所以对线性非完整约束，约束方程相对于速度项是否齐次决定了实位移是否处于虚位移之中，而并非约束是否稳定。
将（23）带入（25），则
所以对于具有l个完整约束、g个非完整约束的系统，独立坐标的数目仍是n=3N-l，但因为多了条件（26），坐标的独立变分数目变为n-g（这个条件（26）使得增加了g个非完整约束方程，这样还要从原来n个坐标的独立变分中减去这个g个，因为这n-g个独立的变分可以表达剩下的g个变分）。
3、理想约束
力学系统中各个质点所受的约束力对该点所产生的虚位移，存在一个虚功。若个点的虚功中和等于0，则这种约束为理想约束。我们用Ri表示第i个质点所受约束力之合力，δri为其虚位移，则理想约束的数学表达式为：
对直角坐标系，（27）可表示为：
（29）带入（27），得
上式中参数的下标可调整位置：
三、达朗贝尔-拉格朗日原理
用径矢ri叉乘（34），可得（36）
由（35）和（36）投影至直角坐标系的三个轴上，可以得到六个平衡条件，此处省略方程。
四、拉格朗日（Lagrange）方程
拉格朗日方程通常是说第二类拉格朗日方程，作为完整约束系统力学的基础，有很大的应用价值。
1、广义坐标形式的方程
我们把力学普遍方程转化为广义坐标形式，即可得到第二类拉格朗日方程。对双面的、理想的、完整约束。
下面将对（6）求全微分。首先看径矢ri的变分δri，因虚位移表示某固定时刻t的假想位移，所以：
把δri用广义坐标表示，那么把（42）带入（40），然后改变求和顺序：
利用如下关系式：
然后下面我们需要得到两个关系式。
来看第一个：
对（6）对时间t求导，得：
再对（45）两边对广义速度求偏导，则有：
上式中，其他项对广义速度·qs求导都为0，只剩下含·qs项求导数不为0.（46）称为第一类拉格朗日方程。
来看第二个关系式：
（45）对qs求偏导：
上式中，等号右边广义速度前的系数都是qs和t的函数。
我们看到（44）中的各项，对其最后一项对时间求全导数，得
（47）和（48）可以看出等号右边相等的，于是可以得出下列等式：
我们把（46）和（49）带入（44），则可得：
将（50）带入（43），得：
对（51）等号右边继续做变换。我们引入系统动能表达式
动能T分别对广义坐标和广义速度求偏导：
将（54）带入（51），得
方程（43）的第二个求和式，我们称之为广义力Qs，即
综上所述，（43）最终变为：
（57）式就是在广义坐标下的动力学普遍方程。上式中括号里的第一项就是惯性力，乘以δqs就是惯性力在系统虚位移上的元功之和。
2、第二类拉格朗日方程推导
我们来看第二类拉格朗日方程如何推导出的。
对于一个完整约束的系统，独立坐标数目等于坐标的独立变分数，所以说对于每个独立的变分，他们的选取是任意的，由此我们可以选取其中一个不等于0，其余都为0，那么：
上式就是所谓的第二类拉格朗日方程，此方程是力学的发展基础，物理上很多学科会用得到。此方程是建立在双面、理想、完整约束的力学基础上的。
最后我们来看看拉格朗日方程的形式：
拉格朗日方程是系统以广义坐标为基础的，关于运动的动力学微分方程的一种方程。对于（58）式，如果明确动能的和广义力的表达式，那么就可求出运动方程（无论是解析解还是数值解）。因此我们可以这样说，运动方程的形式取决于系统动能关于广义坐标和广义速度的函数关系，也取决于系统的主动力（即广义力）。
系统动能：
速度矢量：
将（60）带入（59），得：
为了化简上式，我们需引入代号来记，如下：
将（62）带入（61）变换后：
T=T2+T1+T0 （63）
其中
所以动能系统分为三种形式：
广义速度的齐二次式，广义速度的齐一次式，以及与广义速度无关的T0项。
动能T的表达式有三种形式如下：
3、广义力计算
求解广义力常用虚功来解决。
因为广坐标是彼此独立的，如前所述，是可以任意选取的，所以我们来取一组特殊的虚位移，令δqk≠0，而其他的δqs=0（s≠k），此时虚功为
4、显式形式的拉格朗日方程
把拉格朗日写成显式形式具有重要的价值。首先引入欧拉算子：
于是乎，第二类拉格朗日方程（58）则变换为：
εs(T)=Qs （68.1）
由（63）可得：
εs(T)=εs(T2)+εs(T1)+εs(T0) （68.2）
我们分别算出εs(T2) ，εs(T1) ，εs(T0) 。
由（64）得：
式中Ask=Aks。
所以
对（70）中的第二项做变换，我们知道：
记号[k,m;s]是对T的齐二次式T2的系数矩阵的第一类克里斯多夫记号。
所以最终：
类似的
我们再引入一个量γsk：
上式可表示为一个斜对称矩阵形式：
这个γsk就称之为陀螺系数。
（77）称之为广义陀螺力，求和号里面的项称之为陀螺力。于是可得T1的欧拉算子：
将（73），（78）带入（68.1），得
上式即为显式的第二类拉格朗日方程。
若系统为半不稳定的，T不显含t，则（79）等式右端为：
若系统是完全稳定的，即T=T2，则（79）等式右端仅剩Qs。
五、势力拉格朗日方程
1、有势力拉格朗日方程
若加在系统上的力是一力函数，也就是说存在一个U=U(xi,yi,zi)，这个U只与位置有关，使得：
那么此时的广义力为：
将（81）带入其中，得到：
具有力函数的系统我们称之为保守系统。还有一个重要的函数——势能函数V(qs)，其与力函数相近，就是与力函数大小相等、方向相反，即V(qs)=-U(qs)。
当系统存在力函数时，我们就称系统具有有势力。此时第二类拉格朗日方程就变形为：
又因为如下情况：
于是（84）就变为：
现在我们就要引入一个函数，L=T+U=T-V ，(∵U=-V) （87）
此函数就称之为拉格朗日函数，或动势。到现在，我们终于看到了拉格朗日函数L到底是个啥东东，他是动能与势能函数之差。
那么（86）就变为
（88）就是有势力情况下的第二类拉格朗日方程。
我们由前面所述，T可以分为T2,T1,T0，那么受同样的启发，L也可以分为L2,L1,L0，
其中，L2=T2,L1=T1,L0=T0+U=T0-V
2、关于广义力函数的拉格朗日方程
在经典力学中，力函数是系统质点位置的函数，但不显含时间t。但拉格朗日力学中开辟了一种力函数，其是广义坐标、广义速度和时间t的函数，这就是广义力函数。那么此时广义力Qs可用广义力函数表示：
那么此时的第二类拉格朗日方程为：
拉格朗日表达式可表示为L=T+U，拉格朗日方程仍然为以下形式：
广义力函数U(qs,点qs,t)相对广义速度 点qs是线性的，数学表达式如下：
这里的线性意思是说As(t,q)中不能含有广义速度点qs，否则U对广义速度点qs求偏导，结果还是含有点qs，再对t求导，导致Qs是广义加速度（双点qs）的函数这样的结果。这就不是广义力的定义了。
