前段时间看过一些矩阵求导的教程，在看过的资料中，尤其喜欢斯坦福大学CS231n卷积神经网络课程中提到的Erik这篇文章。循着他的思路，可以逐步将复杂的求导过程简化、再简化，直到发现其中有规律的部分。话不多说，一起来看看吧。

作者：Erik Learned-Miller     翻译：橘子     来源：橘子AI笔记（datawitch）

本文旨在帮助您学习向量、矩阵和高阶张量（三维或三维以上的数组）的求导方法，以及如何求对向量、矩阵和高阶张量的导数。

01. 简化，简化，再简化

在求关于数组的导数时，大部分困惑都源自于我们想要一次同时做好几件事。这“几件事”包括同时对多个元素求导、在求和符号下求导以及应用链式法则。至少在我们积累丰富的经验之前，想要同时做这么多件事情是很容易犯错的。

1.1 写出矩阵中单个元素的表达式

为了简化给定的计算，有一种方法是：写出输出中单个标量元素的表达式，这个表达式只包含标量变量。一旦写出了输出中单个标量元素与其他标量值的表达式，就可以使用标量的微积分求导方法，这比同时进行矩阵的求和、求导要容易得多。

例子 假设我们有一个长度为的列向量，它是由行列的矩阵与长度为的向量计算得到的：

式（1）

假设我们想求对的导数。完整的求导过程需要计算中的每一个元素对中的每一个元素的（偏）导数，在这种情况下，我们会算出个元素，因为中有个元素而中有个元素。

让我们先从计算其中一个元素开始，比如，中的第3个元素对中的第7个元素求导。也就是说，我们要计算

也就是一个标量对另一个标量求导。

在求导之前，我们要先写出的表达式。根据矩阵-向量乘法的定义，矩阵的第3行与向量的点积就是的值。

式（2）

此时，我们已经将原始矩阵方程式（1）简化为了一个标量方程，从而更容易计算所需的导数。

1.2 去掉求和符号

虽然我们可以尝试直接求式（2）的导数，但包含求和符号或连乘符号的表达式在求导时很容易出错。为了确保万无一失，在刚开始的时候最好去掉求和符号，把各项相加的表达式写出来。我们可以写出以下表达式，下标由“1”开始

当然，这个表达式中包括了含有的项，这一项正是我们求导需要的项。现在不难看出，在求对的偏导数时，我们只关心这个表达式中的一项，。由于其他项都不包括，他们对的导数都是0。由此，我们写出

式（3）-式（6）

通过把关注点放在中的一个元素对中的一个元素的求导过程，我们尽可能地简化了计算。以后当你在矩阵求导计算中产生困惑时，也可以试着将问题简化到这个最基本的程度，这样便于看清哪里出了问题。

1.2.1 完成求导：雅可比矩阵

别忘了，我们的终极目标是计算中每个元素对中每个元素的导数，这些导数总共有个。以下矩阵可以表示所有这些导数：

在这种特殊情况下，它被称为雅可比矩阵（Jacobian maxtirx），但这个术语对理解我们的目的而言并不那么重要。

注意，对于公式

对的偏导数可以简单地用来表示。如果挨个儿检查整个矩阵中的所有元素，就不难发现，对所有的i和j来说，都有

也就是说，偏导数的矩阵可以表示为

现在可以看出，这个矩阵当然就是矩阵本身。

因此，推导了这么半天，我们终于能得出，对

求对的导数相当于

2. 如果是行向量该怎么算

在使用不同的神经网络库时，留意权重矩阵、数据矩阵等矩阵的具体表达形式是非常重要的。例如，如果一个数据矩阵包含许多不同的向量，那么，在这个矩阵中，是一个行向量表示数据集中的一个样本，还是一个列向量表示一个样本？

在第一部分的例子中，我们计算的向量是一个列向量。然而，当是行向量的时候你也得明白该怎么算。

2.1 第二个例子

假设是含有个元素的行向量，它是由含有个元素的行向量与行列的矩阵计算得到的：

虽然和中的元素数量都和之前一样，但矩阵的形状相当于我们在第一个例子中使用的矩阵的转置（transpose）。尤其是因为我们现在是矩阵左乘，而不是之前的右乘，现在的矩阵必须是第一个例子中矩阵的转置。

在这个例子中，写出的表达式

会得到

注意这个例子中的元素序号与第一个例子中相反。如果写出完整的雅可比矩阵，我们仍然可以得出

式（7）

3. 超过二维的情形该怎么算

现在假设一个与前两部分密切相关的情形，如下式

在这个情况下，沿一个坐标轴变化，而沿两个坐标轴变化。因此，整个导数自然会是一个三维数组。在这里，我们避免使用“三维矩阵”这样的术语，因为尚不清楚矩阵乘法和其他矩阵运算在三维数组中是如何定义的。

在处理三维数组的时候，尝试去找出展示它们的方法可能会带来不必要的麻烦。相反，我们应该简单地用表达式写出结果，用这些表达式可以计算出所需三维数组中的任何元素。

让我们继续以标量导数的计算开始，比如中的一个元素和中的一个元素。我们先用其他标量写出的表达式，这个表达式还要体现出在其计算中所起的作用。

然而，我们发现在的计算中没有起到任何作用，因为

式（8）

也就是说

不过，对中第3列元素求导的结果一定是非零的。例如对的偏导数为

式（9）

其实仔细看式（8）就很容易发现这一点。

一般情况下，当中元素的下标等于中元素的第二个下标时，这个偏导数就是非零的，反之则为零。我们由此写出：

除此以外，三维数组中的其他元素都是0。如果用表示对求导得出的三维数组

其中

但是中的其他项都为0。

最终，如果我们定义一个新的二维数组

就可以看出，我们需要的所有关于的信息实际上都可以用来储存，也就是说，的非零部分其实是二维的，而不是三维的。

以紧凑的形式表示导数数组对于神经网络的高效实现而言至关重要。

4. 有多条数据该怎么算

前面的例子已经是很好的求导练习了，但如果需要用到多条数据，也就是多个向量堆叠在一起构成矩阵时，又该如何计算呢？我们假设每个单独的都是一个长度为的行向量，矩阵是一个行列的二维数组。而矩阵，和之前的例子一样，是一个行列的矩阵。的定义如下

它是一个行列的矩阵。因此，的每一行将给出一个与输入的相应行相关的行向量。

按照我们写出给定元素表达式的方法，可以写出

我们马上就能从这个式子中看出，对于偏导数

只有的时候计算结果才不为零。也就是说，因为中的每一个元素都只对中相应的那一行求导，与的不同行之间的偏导数都为0。

我们可以进一步发现

式（10）

完全不依赖于我们比较的是和的哪一行。

事实上，矩阵完整包含了所有的偏导数——我们只需要根据式（10）和下标来找到我们想要的特定偏导数。

如果用表示中的第行，用表示中的第行，可以发现

正是对之前式（7）的一个简单的普遍化形式。

5. 向量和矩阵中的链式法则

我们已经通过几个例子学会了一些基本形式的计算，现在通过链式法则把这些例子结合在一起。再次假设和是两个列向量，让我们从下式开始

尝试计算对的导数。我们可以简单地观察到两个矩阵和的乘积就是另一个矩阵，因此可以写出

然而，我们想通过链式法则来定义中间结果，以观察在非标量求导过程中是如何应用链式法则的。

我们把中间结果定义为

于是有

然后我们可以运用链式法则写出

为了确保我们确切地知道该式的含义，再次采用每次分析一个元素的老办法，从中的一个元素和中的一个元素开始：

右边的乘积该怎么解释呢？链式法则的思想是将对每个标量中间变量的导数与中间变量对的导数相乘。特别地，如果有个元素，那么可以写出

回忆之前关于向量对向量求导的计算方法，发现

其实是，而

其实是。所以可以写出

这就是用中的元素写出的求导表达式，至此我们得出了答案。

综上所述，我们可以用链式法则来表示向量和矩阵的导数，只需要注意：

清楚说明中间结果和表示中间结果的变量，

表示出最终导数中各个元素的链式法则，

对链式法则表达式中的中间结果适当求和。

参考资料：

http://cs231n.stanford.edu/vecDerivs.pdf