二面角：2016年理数全国卷A题18（12分）
如图，在以 为顶点的五面体中，面
为正方形，
，
，且二面角
与二面角
都是
（I）证明∶平面 平面
;
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
2016年理数全国卷A
【解答问题I】
面 为正方形
∵ ,
∴ 平面
,
又∵ 平面
,
∴ 平面 平面
.
【解答问题Ⅱ：准备工作】
∵ 面 为正方形，
∴ ,
,
又 ∵ 平面
, （前节已证）
∴ 平面
,
∴
又∵ 二面角 与二面角
都是
∴
∵ ,
平面
,
平面 平面
,
∴ .
∴ 是等腰梯形.
又∵ , ∴
令 , 以点
为原点建立直角坐标系，以
为
轴，以
为
轴，以
所在一侧为
轴正方向.
各点坐标如下：
【解答问题Ⅱ：算法一】
令 ,
,
二面角 的余弦值为
.
【解答问题Ⅱ：算法二】
令 为平面
的法向量，则有：
∴
令 为平面
的法向量，则有：
∴
二面角 的余弦值为
.
【提炼与提高】
本题第1问，由线线垂直推出线面垂直；由线面垂直推出面面垂直。
本题第2问，适合用向量方法解决。我们用两种方法分别计算，结果相同。用两种方法独立计算，可以直到验算的效果，避免因为一些低级失误而丢分。
