同济高等数学第七版2.2习题精讲（续一）

3、求下列函数在给定点处的导数：

(1) y=\sin x-\cos x,求 \left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}} 和\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}
(2) \rho=\theta \sin \theta+\frac{1}{2} \cos \theta,\left.求 \frac{d \rho}{d \theta}\right|_{\theta=\frac{\pi}{4}}
(3) f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5}, 求f^{\prime}(0) 和 f^{\prime}(2)

解：直接进行求解。

(1) y^{\prime}=\cos x+\sin x,\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}}=\cos \frac{\pi}{6}+\sin \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} {\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}=\cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}} \\ {\text { (2) } \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}=\sin \theta+\theta \cos \theta+\frac{1}{2}(-\sin \theta)=\frac{1}{2} \sin \theta+\theta \cos \theta} \\ {\left.\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}\right|_{\theta=\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(1+\frac{\pi}{2}\right)} \\ {\text { (3) } f^{\prime}(x)=\frac{3}{(5-x)^{2}}+\frac{2}{5} x, \quad f^{\prime}(0)=\frac{3}{25}, \quad f^{\prime}(2)=\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{17}{15}}

4、以初速v_0竖直上抛的物体，其上升高度s与时间t的关系是s=v_0t-\frac{1}{2}gt^2，求：(1)物体的速度v(t);(2)该物体达到最高点的时刻。

解：(1)物体的速度v(t)=v_0-gt;(2)该物体达到最高点的时刻就是速度变成0的时刻，所以v(t)=0=v_0-gt，解得t=\frac{v_0}{g}。

5、求曲线y=2sinx+x^2上横坐标为x=0的点处切线方程和法线方程。

解：先求斜率k=2cosx+2x|_{x=0}=2,此时纵坐标为y=0

所以切线方程为y-0=2(x-0)

法线方程y-0=-\frac{1}{2}(x-0)

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