5、二维离散傅里叶变换

1、概念

令 $f(x, y)$ 表示一幅大小为 $M*N$ 像素的数字图像，其中 $x=0,1,2,...,M-1，y=0,1,2,...,N-1$ 。
其二维离散傅里叶变换（DFT）为
$F(u, v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x, y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}$
离散傅里叶反变换（IDFT）为
$f(x, y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u, v)e^{j2\pi(ux/M+vy/N)}$
令 $R(u, v)$ 和 $I(u, v)$ 分别表示 $F(u, v)$ 的实部和虚部，则傅里叶谱定义为
$|F(u, v)|=[R^2(u, v)+I^2(u, v)]^{1/2}$
变换的相角定义为
$\phi(u, v)=arctan[\frac{I(u, v)}{R(u, v)}]$
极坐标下表示复函数 $F(u, v)$ 为
$F(u, v)=|F(u, v)|e^{-j\phi(u, v)}$
功率谱定义为幅度的平方
$P(u, v)=|F(u, v)|^2=R^2(u, v)+I^2(u, v)$
如果 $f(x, y)$ 是实函数，则其傅里叶变换关于远点共轭对称
$F(u, v)=F^*(-u, -v)$
其傅里叶谱也关于原点对称
$|F(u, v)|=|F(-u, -v)|$
DTF 和 IDTF 的周期性
$F(u, v)=F(u+k_1M, v)=F(u, v+k_2N)=F(u+k_1M, v+k_2N)$
$f(x, y)=f(x+k_1M, y)=f(x, y+k_2N)=f(x+k_1M, y+k_2N)$
变换居中
$f(x, y) * (-1)^{x+y}$

2、matlab 中计算 DFT

快速傅里叶变换（FFT）

F = fft2(f);

使用傅里叶变换滤波时，需要对输入数据进行零填充。语法为

F = fft2(f, P, Q);

P , Q 为函数结果大小。

傅里叶谱

S = abs(F);
imshow(S, [])

居中变换

Fc = fftshift(F);
F = ifftshift(Fc); %居中反转

相角

phi = atan2(I, R);
phi = atan2(imag(F), read(F));
phi = angle(F);
F = S .* exp(i*phi);

傅里叶反变换

f = ifft2(F);

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