算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量； 而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度。
简单来说，时间复杂度指的是语句执行次数，空间复杂度指的是算法所占的存储空间
时间复杂度
计算时间复杂度的方法：
- 用常数1代替运行时间中的所有加法常数
- 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 去除最高阶项的系数
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),
线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),…，
k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
举个栗子:
sum = n*(n+1)/2; //时间复杂度O(1)
for(int i = 0; i < n; i++){
printf("%d ",i);
}
//时间复杂度O(n)
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
printf("%d ",i);
}
}
//时间复杂度O(n^2)
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = i; j < n; j++){
printf("%d ",i);
}
}
//运行次数为(1+n)*n/2
//时间复杂度O(n^2)
int i = 0, n = 100;
while(i < n){
i = i * 2;
}
//设执行次数为x. 2^x = n 即x = log2n
//时间复杂度O(log2n)
最坏时间复杂度和平均时间复杂度
最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。
这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。设每种情况的出现的概率为pi,平均时间复杂度则为sum(pi*f(n))。
常用排序算法的时间复杂度
| 排序方法 | 时间复杂度（平均） | 时间复杂度（最坏) | 时间复杂度（最好) | 空间复杂度 | 稳定性 | 复杂性 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 直接插入排序 | O(n2) | O(n2) | O(n) | O(1) | 稳定 | 简单 |
| 希尔排序 | O(nlog2n) | O(n2) | O(n) | O(1) | 不稳定 | 较复杂 |
| 直接选择排序 | O(n2) | O(n2) | O(n2) | O(1) | 不稳定 | 简单 |
| 堆排序 | O(nlog2n) | O(nlog2n) | O(nlog2n) | O(1) | 不稳定 | 较复杂 |
| 冒泡排序 | O(n2) | O(n2) | O(n) | O(1) | 稳定 | 简单 |
| 快速排序 | O(nlog2n) | O(n2) | O(nlog2n) | O(nlog2n) | 不稳定 | 较复杂 |
| 归并排序 | O(nlog2n) | O(nlog2n) | O(nlog2n) | O(n) | 稳定 | 较复杂 |
| 基数排序 | O(d(n+r)) | O(d(n+r)) | O(d(n+r)) | O(n+r) | 稳定 | 较复杂 |
常见查找算法时间复杂度
| 查找 | 平均时间复杂度 | 查找条件 | 算法描述 |
|---|---|---|---|
| 顺序查找 | O(n) | 无序或有序队列 | 按顺序比较每个元素，直到找到关键字为止 |
| 二分查找（折半查找） | O(logn) | 有序数组 | 查找过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜素过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且跟开始一样从中间元素开始比较。 如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。 |
| 二叉排序树查找 | O(logn) | 二叉排序树 | 在二叉查找树b中查找x的过程为：1. 若b是空树，则搜索失败2. 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；3. 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树4. 查找右子树。 |
| 哈希表法（散列表） | O(1) | 先创建哈希表（散列表） | 根据键值方式(Key value)进行查找，通过散列函数，定位数据元素。 |
| 分块查找 | O(logn) | 无序或有序队列 | 将n个数据元素"按块有序"划分为m块（m ≤ n）。每一块中的结点不必有序，但块与块之间必须"按块有序"；即第1块中任一元素的关键字都必须小于第2块中任一元素的关键字；而第2块中任一元素又都必须小于第3块中的任一元素，……。然后使用二分查找及顺序查找。 |
空间复杂度
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做 S(n)=O(f(n))。
对于一个算法来说，空间复杂度和时间复杂度往往是相互影响的。
当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使空间复杂度的性能变差，即可能导致占用较多的存储空间；反之，当追求一个较好的空间复杂度时，可能会使时间复杂度的性能变差，即可能导致占用较长的运行时间。
有时我们可以用空间来换取时间以达到目的。
