级数 - 简书

常数项级数

定义

定义
部分和 $S_n$ 、收敛和 $S$ 、余项 $r_n$

注意

判断敛散性可以观察部分和

把部分和的式子写出来，令 $n\to \infty$

或者：有 $\lim S_n=S$ （调和级数）
$\{S_n\}$ 部分和数列，部分和数列和级数可以相互推导

性质

$\sum u_{n}$ 和 $\sum k u_{n}$ 具有相同敛散性
级数敛散具有可加性。收敛相加也收敛，收敛加发散必发散，但发散相加不一定发散。
级数收敛，子级数也收敛。反过来不一定成立。
级数增加、削减、改变有限项，敛散性不变。
收敛性质的必要性：若收敛，则 $\lim _{n \to\infty} u_ n=0$ ，反之不一定成立。

交错级数

定义

$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}=u_1-u_2+\cdots+(-1)^{n-1}u_n$

交错级数的审敛法

莱布尼兹定理。

如果级数单减，且当 $n\to \infty$ ，有 $u_n\to 0$ ，则交错级数收敛
绝对收敛和条件收敛

若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则称 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 绝对收敛

若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 发散，而 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 收敛，则称为条件收敛

正项级数

定义

审敛法

若 $u_\infty >0$ 则发散
一般形式
1. 比较审敛法：若 $\sum ^\infty_{n=1}u_n$ 和 $\sum ^\infty_{n=1}v_n$ 都是正项级数，且 $u<v$ ，则若后者收敛则前者收敛，前者发散则后者发散。
  $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} p>1\ \ convergence \\ p \leq 1\ \ divergence \end{array}\right.$
2. 若 $\lim _{n \rightarrow u\infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}=p$ ，且 $0<p<+\infty$ ，则 $u$ 和 $v$ 具有相同的敛散性
  
  多用在分式中
比值审敛法

考察 $\lim_{u\to\infty}\frac {u_{n+1}} {u_n}=p$
1. 若 $0 \leq p<1$ ，则收敛
2. $p>1$ ，发散
3. $p=1$ ，无法判断
根式审敛法

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_ n}=p \quad\left\{\begin{array}{l} p<1\ \ convergence \\ p>1\ \ divergence \end{array}\right.$

幂级数及其收敛域

定义

$a_{0}+a_{1}\left(x-x_{0}\right)+a_{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}+\cdots\\ =\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}$

收敛域

考察 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_{n}\right) x^{n}$ ，收敛中心是 $\rho=\lim _{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ ，收敛半径是 $R=\frac{1}{\rho}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|$ ，则该级数在 $(-R,R)$ 上收敛，而在端点处要自行判断。

所有收敛点的集合称为收敛域。

幂级数的求和

幂级数的运算

设有 $a,b$ 两个级数，那么 $ka$ 的收敛域不变，和函数变为 $k$ 倍。

$a+b$ 的收敛域应该是两个收敛域的交集，和函数直接相加。

逐项求导：（收敛半径不变）
$\begin{array}{l} \sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n x^{n}\right)^{\prime}=\left(a_{0}\right)^{\prime}+\left(a_{1} x\right)^{\prime}+\left(a_{2} x^{2}\right) \quad+\ldots+\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}+\cdots\\ =a_{1}+2 a_{2} x+\dots+n a_{n} x^{n-1}+\cdots\\ =\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1} \end{array}$
逐项积分：（收敛半径不变）