1.概述
1.度量一个程序(算法)执行时间的两种方法
#事后统计的方法
这种方法可行, 但是有两个问题：
一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；
二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素,
这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。
#事前估算的方法
通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.
2.时间复杂度 VS 空间复杂度
在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。
从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。
一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
2.时间复杂度
2.1 时间频度
一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
例如, 下述两种求和算法, 时间频度不同
/**
* 时间频度 T(n) = 1
* @param n
* @return
*/
private int sum01(int n) {
return n * (n + 1) / 2;
}
/**
* 时间频度 T(n) = n + 1
* @param n
* @return
*/
private int sum02(int n) {
int total = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
total += i;
}
return total;
}
2.2 时间复杂度
#概念
一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示。
若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，
则称f(n)是T(n)的同数量级函数, 记作 T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
#T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。
如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
#计算时间复杂度的方法：
1.用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
3.去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
2.3 常见的时间复杂度
1.常数阶O(1)
2.对数阶O(log2n) #以2为底, n的对数
3.线性阶O(n)
4.线性对数阶O(nlog2n) # (以2为底, n的对数) * n
5.平方阶O(n^2)
6.立方阶O(n^3)
7.k次方阶O(n^k)
8.指数阶O(2^n)
#说明：
常见的算法时间复杂度由小到大依次为：
Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n)
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
我们应该尽可能避免使用指数阶的算法。
常见的时间复杂度.png
2.3.1 常数阶 O(1)
无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)。
int i = 1;
int j = 1;
i++;
j++;
int m = i + j;
上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，
那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
2.3.2 对数阶O(log2n)
int i = 1;
while(i < n) {
i *= 2
}
在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。
假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，
那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。
因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。
O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .
数学概念--对数.png
2.3.3 线性阶O(n)
int total = 0;
for (int i = 0; i < 100; i++) {
total += i;
}
这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，
因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
2.3.4 线性对数阶O(nlog2N)
for (int i = 0; i < n; i++) {
int j = 1;
while (j < n) {
j *= 2;
}
}
线性对数阶O(nlog2N) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(log2n)的代码循环N遍的话，
那么它的时间复杂度就是 n * O(log2N)，也就是了O(nlog2N)
2.3.5 平方阶O(n²) (可以理解为两层 for 循环)
平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)。
for (int i = 0; i < 100; i++) {
for (int j = 0; j < 100; j++) {
...
}
}
这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，
即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)
立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k): n的几次方, 就是几次 for 循环
2.4 平均时间复杂度和最坏时间复杂度
1.平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2.最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。
一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：
最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3.平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关。
几种排序算法的时间复杂度.png
3.空间复杂度
1.一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
2.空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，
它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，
例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况。
3.在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。
从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。
一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.
