线性代数——矩阵

行列式

1. 定义

设有 $n^{2}$ 个数，排成 $n$ 行 $n$ 列的数表
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{matrix}$
做出表中位于不同行不同列的 $n$ 个数的乘积，并冠以符号 $(-1)^{t}$ ，得到形如 $(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$ 的项，其中 $p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$ 为自然数 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列， $t$ 为这个排列的逆序数，这样的项共有 $n!$ 项，所有这 $n!$ 项的代数和 $\sum(-1)^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\cdots a_{np_{n}}$ 称为 $n$ 阶行列式，记作
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$
简记作 $det(a_{ij})$ ，其中数 $a_{ij}$ 为行列式 $D$ 的 $(ij)$ 元。

2. 余子式和代数余子式

在 $n$ 阶行列式中，把 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫作 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ，记 $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij},$ $A_{ij}$ 叫做 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式。

定理 1 $n$ 阶行列式
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}$
等于它的任一行（对列同样适用）所有元素与他们各自对应的代数余子式的乘积之和，即 $|D| = a_{k1}A_{k1} + a_{k2}A_{k2}+\cdots +a_{kn}A_{kn} \qquad (k=1,2,\cdots ,n)$

4. 克拉默法则

如果含有 $n$ 个未知数 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的 $n$ 个线性方程组
$\left\{\begin{matrix} y_{1}= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}+\cdots + a_{1n}x_{n} \\ y_{2}= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}+\cdots + a_{2n}x_{n} \\ \cdots \cdots \\ y_{n}= a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2}+\cdots + a_{nn}x_{n} \\ \end{matrix}\right. \tag{1}$
的系数行列式不等于零，即
$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\neq 0$
那么，方程组 $(1)$ 有唯一解。

矩阵

1. 定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1, 2,…,m; j=1,2,…,n)$ 排列成的 $m$ 行 $n$ 列的数表
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\\ \end{matrix}$
称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵，一般记着
$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

只有一行的矩阵称为行矩阵，又称为行向量
$A = \begin{pmatrix} a_{11} , a_{12} , ... , a_{1n}\\ \end{pmatrix},$
只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量
$A = \begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{12}\\ \vdots\\ a_{1n}\\ \end{pmatrix}$
元素均为0的矩阵称为零矩阵，记着 $\mathbf{0}$

2. 实质

$n$ 个变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 和 $m$ 个变量 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$ 之间的关系式
$\left\{\begin{matrix} y_{1}= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}+\cdots + a_{1n}x_{n} \\ y_{2}= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2}+\cdots + a_{2n}x_{n} \\ \cdots \cdots \\ y_{m}= a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2}+\cdots + a_{mn}x_{n} \\ \end{matrix}\right.$
表示一个从 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 到 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$ 的线性变换，其中 $a_{ij}$ 为常数。
线性变换的的系数 $a_{ij}$ 构成矩阵 $A=\left ( a_{ij} \right )_{m\times n}$

给定了线性变换，它的系数构成的矩阵也就确定，反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和系数矩阵之间存在着一一对应的关系。于是，也可以将矩阵看做是线性变换。

3. 矩阵的运算

3.1 矩阵的加法

设有两个 $m\times n$ 矩阵 $A=\left ( a_{ij} \right )$ 和 $B=\left ( b_{ij} \right )$ , 那么 $A$ 和 $B$ 的和记作 $A+B$ ，规定为 $A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & ... & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & ... & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & ... & a_{mn}+b_{mn}\\ \end{pmatrix}$

矩阵加法满足下列运算规律（设 $A,B,C$ 都是 $m\times n$ 矩阵）

$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$

3.2 数与矩阵相乘

数 $\lambda$ 与矩阵 $A$ 的乘积记作 $\lambda A$ 或 $A\lambda$ ，规定为 $\lambda A=A\lambda = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & ... & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & ... & \lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & ... & \lambda a_{mn}\\ \end{pmatrix}$

数乘矩阵满足下列运算规律（设 $A,B$ 都是 $m\times n$ 矩阵， $\lambda ,\mu$ 为数）

$\left ( \lambda \mu \right )A=\lambda \left ( \mu A \right )$
$(\lambda +\mu)A=\lambda A + \mu A$
$\lambda\left ( A+B \right ) = \lambda A +\lambda B$

矩阵相加和数乘矩阵合起来称为矩阵的线性运算。

3.3 矩阵与矩阵相乘

设 $A=\left ( a_{ij} \right )$ 是一个 $m\times s$ 的矩阵， $B=\left ( b_{ij} \right )$ 是一个 $s\times n$ 的矩阵，那么规定矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $C=\left ( c_{ij} \right )$ ，其中
$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j}+\cdots + a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\\ (i=1, 2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$
并把此乘积记作 $C=AB$

注意：

只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
矩阵乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序。一般情形下， $AB\neq BA$ 。
对于两个 $n$ 阶方阵 $A, B$ ，若 $AB=BA$ ，则称方阵 $A$ 与 $B$ 是可交换的。

矩阵乘法满足下列运算规律（假设都是可行的）

$(AB)C=A(BC)$
$\lambda (AB) = (\lambda A)B=A(\lambda B) (其中\lambda 为数)$
$A(B+C) = AB+AC,\\(B+C)A = BA+CA$
$EA=AE=A$

3.3.1 矩阵的幂

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，定义
$A^{1} = A,A^{2}=A^{1}A^{1},\cdots A^{k+1}=A^{k}A^{1},$
其中 $k$ 为正整数。

矩阵的幂满足下列运算规律：
$A^{k}A^{l}=A^{k+l},\left ( A^{k} \right )^{l}=A^{kl}$
其中 $k$ ， $l$ 为正整数。

注意：

只有当 $A$ ， $B$ 可交换时，才有 $\left ( AB \right )^{k} = A^{k}B^{k}$ ，类似可知， $\left ( A+B \right )^{2} = A^{2}+2AB+B^{2}, \left ( A-B \right )\left ( A+B \right )=A^{2}-B^{2}$ 也只有当 $A$ ， $B$ 可交换时才成立。

3.3.2 一个小知识点

若 $\alpha=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]^{T}$ ，则 $\alpha \alpha^{T} = [a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} =a_{1}^{2} +a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}$
那么 $\alpha \alpha^{T} = 0 \Leftrightarrow a_{i} = 0 (i=1,2,\cdots ,n) \Leftrightarrow \alpha=0$

矩阵与矩阵相乘可以看作是多个线性变换的的组合，变换顺序为从右向左。

3.4 矩阵的转置

把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 $A$ 的转置矩阵，记作 $A^{T}$ 。

矩阵的转置满足下列运算规律：

$(A^{T})^{T}=A$
$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
$(\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}$
$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

如果 $A$ 为 $n$ 阶方阵，如果满足 $A^{T}=A$ ，即 $a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,\cdots ,n)$ 那么 $A$ 称为对称矩阵，简称对称阵。对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

3.5 方阵的行列式

由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素所构成的行列式，称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $\left | A \right |$ 或 $detA$ 。

行列式满足下列运算规律（设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵， $\lambda$ 为数）

$\left | A^{T} \right |=\left | A \right |$
$\left | \lambda A \right |=\lambda ^{n}\left | A \right |$
$\left | AB \right |=\left | A \right |\left | B \right |$
$\left | A^{*} \right |=\left | A \right|^{n-1}$
$|A^{-1}| = |A|^{-1}$
若 $\lambda_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是 $A$ 的特征值，则 $|A|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}$
若 $A$ 和 $B$ 相似，则 $|A| = |B|$

行列式可以看作是该矩阵的线性变换对基向量所围成的空间（面积、体积……）的缩放倍数

4. 逆矩阵

4.1 定义

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果有一个 $n$ 阶矩阵 $B$ ，使 $AB=BA=E$ ，则说矩阵 $A$ 是可逆的，并把矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，简称逆阵。 $A$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$ 。

4.2 逆矩阵的性质

如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 的逆阵是惟一的。
若矩阵 $A$ 可逆，则 $\left | A \right |\neq 0$ 。
若 $\left | A \right |\neq 0$ ，则矩阵 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$ ，其中 $A^{*}$ 称为 $A$ 的伴随阵。
若 $AB=E(或BA=E)$ ，则 $B=A^{-1}$ 。
方阵的逆阵满足下列运算规律：

若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 亦可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
若 $A$ 可逆，数 $\lambda \neq 0$ ，则 $\lambda A$ 可逆，且 $(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda }A^{-1}$
若 $A,B$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $AB$ 亦可逆，且 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$(A^{n})^{-1} = (A^{-1})^{n}$
$(A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}$
$|A^{-1}| = \frac {1}{|A|}$
$A^{-1} = \frac {1}{|A|}A^{*}$

定理 1 $\begin{align*} n 阶矩阵 A 可逆&\Leftrightarrow |A| \neq 0 \\\ &\Leftrightarrow r(A)=n\\\ &\Leftrightarrow A 的列（行）向量组线性无关\\\ &\Leftrightarrow A = P_{1}P_{1}\cdots P_{s},P_{i}(i=1,2,\dots,s) 是初等矩阵\\\ &\Leftrightarrow A 与单位矩阵等价\\\ &\Leftrightarrow 0不是A的特征值\end{align*}$

5. 奇异矩阵、非奇异矩阵、伴随矩阵、正交矩阵

当 $\left | A \right |=0$ 时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
行列式 $\left | A \right |$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵
$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{pmatrix}$
称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵，简称伴随阵。

伴随矩阵有如下计算公式

$AA^{*} = A^{*}A = |A|E$
$A^{*} = |A|A^{-1}, |A^{*}| = |A|^{n-1}$
$(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*} = \frac {1}{|A|}A$
$(A^{*})^{T} = (A^{T})^{*}; (kA)^{*} = k^{n-1}A^{*}; (A^{*})^{*} = |A|^{n-2}A$
$r(A^{*}) = \left\{\begin{matrix} n, \quad if\quad r(A)=n\\ 1, \quad if\quad if r(A) = n-1\\ 0, \quad if\quad if r(A)<n-1\\ \end{matrix}\right.$

$n$ 阶矩阵 $A$ ，如果满足 $AA^{T} = A^{T}A = E$ ，则称矩阵 $A$ 为正交矩阵。
若 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A^{T} = A^{-1}$
若 $A$ 为正交矩阵 $\Rightarrow |A|^{2} = 1$

6. 矩阵的多项式

设 $\varphi (x) = a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{m}x^{m}$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式， $A$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $\varphi (A) = a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}$
$\varphi (A)$ 称为矩阵 $A$ 的 $m$ 次多项式。

因为矩阵 $A^{k},A^{l}$ 和 $E$ 都是可交换的，所以矩阵 $A$ 的两个多项式 $\varphi (A)$ 和 $f (A)$ 总是可交换的，即总有 $\varphi (A) f(A)=f(A)\varphi (A)$
从而 $A$ 的几个多项式可以像数 $x$ 的多项式一样相乘或因式分解，例如
$(E+A)(2E-A) = 2E+A-A^{2}$
$(E-3A)^{3} = E-3A+3A^{2}-A^{3}$

于是，便可以得出如下结论：

如果 $A=P\Lambda P^{-1}$ ，则 $A^{k}=P\Lambda^{k} P^{-1}$ ，从而
$\begin{align*}\varphi (A)&= a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}\\ &= Pa_{0}EP^{-1}+Pa_{1}EP^{-1}+\cdots +Pa_{m}\Lambda^{m}P^{-1}\\ & =P\varphi (\Lambda)P^{-1}\end{align*}$
如果 $\Lambda = diag(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda_{n})$ 为对角阵，则 $\Lambda^{k} = diag(\lambda_{1}^{k},\lambda_{2}^{k},\cdots ,\lambda_{n}^{k})$ ，从而
$\begin{align*}\varphi (A)&= a_{0}E+a_{1}A+\cdots a_{m}A^{m}\\ & = a_{0}\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}+ a_{1}\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix} + \cdots + a_{m}\begin{pmatrix} \lambda_{1}^{m} & & & \\ & \lambda_{2}^{m} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}^{m} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \varphi (\lambda _{1}) & & & \\ & \varphi (\lambda _{1}) & & \\ & & \ddots & \\ & & & \varphi (\lambda _{1}) \end{pmatrix} \end{align*}$

7. 矩阵分块

$m\times n$ 矩阵 $A$ 有 $m$ 行，称为矩阵 $A$ 的 $m$ 个行向量，若第 $i$ 行记作 $a_{i}^{T} = (a_{i1}, a_{i2},\cdots ,a_{in})$ ，则矩阵 $A$ 便记为 $A=\begin{pmatrix} a_{1}^{T}\\ a_{2}^{T}\\ \vdots \\ a_{m}^{T} \end{pmatrix}$
同理，矩阵 $A$ 的 $n$ 列称为矩阵 $A$ 的 $n$ 个列向量。若第 $j$ 列记作 $a_{j}=\begin{pmatrix} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$
则 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$

矩阵分块的运算法则

$\begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} A^{T} & C^{T}\\ B^{T} & D^{T} \end{bmatrix}$
若 $B,C$ 分别是 $m$ 阶和 $s$ 阶矩阵，则
$\begin{bmatrix} B & 0\\ 0 & C \end{bmatrix}^{n}= \begin{bmatrix} B^{n} & 0\\ 0 & C^{n} \end{bmatrix}$
若 $B,C$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵，则
$\begin{bmatrix} B & 0\\ 0 & C \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} B^{-1} & 0\\ 0 & C^{-1} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & B\\ C & 0 \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} 0 & C^{-1}\\ B^{-1} & 0 \end{bmatrix}$

8. 矩阵的初等变换

8.1 定义

下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：
(i)对调两行（对调 $i,j$ 两行，记作 $r_{i}\leftrightarrow r_{j}$ ）
(ii)以数 $k\neq 0$ 乘某一行中的所有元素（第 $i$ 行乘 $k$ ，记作 $r_{i}\times k$ ）
(iii)把某一行所有元素的 $k$ 倍加到另一行对应的元素上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_{i}+kr_{j}$ ）

把定义中的”行“换成”列“，即得矩阵的初等列变换。
矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

如果矩阵 $A$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 行等价，记作 $A \overset{r} \sim B$ 。
如果矩阵 $A$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 列等价，记作 $A \overset{c} \sim B$ 。
如果矩阵 $A$ 经有限次初等变换变成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$ 。
矩阵之间的等价关系具有下列性质：

反身性 $A\sim A$
对称性若 $A\sim B$ ，则 $B\sim A$
传递性若 $A\sim B,B\sim C$ ，则 $A\sim C$

8.2 行阶梯矩阵、行最简形矩阵、标准形

行阶梯矩阵的特点：可划出一条阶梯线，线的下方全为0.
行最简形矩阵的特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。
标准形的特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0。

8.3 矩阵初等变换的性质

定理 1 设 $A$ 与 $B$ 为 $m \times n$ 矩阵，那么：
(i) $A \overset{r} \sim B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ；使 $PA=B$ ；
(ii) $A \overset{c} \sim B$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ；使 $AQ=B$ ；
(iii) $A\sim B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 及 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ；使 $PAQ=B$ 。

定义 1 由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

性质 1 设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的 $n$ 阶初等矩阵。

初等矩阵都是可逆的，且其逆阵是同一类型的初等矩阵： $E(i,j)^{-1} = E(i,j)$ ； $E(i(k))^{-1} = E(i(\frac{1}{k}))$ ； $E(ij(k))^{-1} = E(ij(-k))$ 。

性质 2 方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 $P_{1},P_{2},\cdots ,P_{l}$ ，使 $A=P_{1}P_{2}\cdots P_{l}$ 。

推论方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A \overset{r} \sim E$ 。

9. 矩阵的秩

9.1 定义

在 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列（ $k\leqslant m,k\leqslant n$ ），位于这些行列交叉处的 $k^{2}$ 元素，不改变他们在 $A$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为矩阵 $A$ 的 $k$ 阶子式。

设在矩阵 $A$ 中有一个不等于0的 $r$ 阶子式 $D$ ，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$ ，并规定零矩阵的秩等于0。

由于行列式与其转置行列式相等，因此 $A^{T}$ 的子式与 $A$ 的子式对应相等，从而 $R(A^{T})=R(A)$ 。

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，由于 $A$ 的 $n$ 阶子式只有一个 $|A|$ ，故当 $|A| \neq 0$ 时 $R(A)=n$ ，当 $|A| =0$ 时 $R(A)<n$ 。可见，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。因此，可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵。若矩阵 $A$ 的秩等于它的列数，这样的矩阵称为列满秩矩阵。

定理 2 若 $A\sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$ 。
由此可得，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。

推论若可逆矩阵 $P,Q$ 使 $PAQ=B$ ，则 $R(A)=R(B)$ 。（由8.3定理1）

9.2 矩阵秩的性质

(1) $0\leqslant R(A_{m\times n})\leqslant min|m,n|$

(2) $R(A^{T})=R(A)$

(3) 若 $A\sim B$ ，则 $R(A)=R(B)$

(4) 若 $P,Q$ 可逆，则 $R(PAQ)=R(A)$

(5) $max\left \{R(A), R(B)\right \} \leqslant R(A,B) \leqslant R(A)+R(B)$

(6) $R(A+B) \leqslant R(A) + R(B)$

(7) $R(AB) \leqslant min\left \{ R(A), R(B) \right \}$

(8) 若 $A_{m \times n}B_{n \times l}=\mathbf{0}$ ，则 $R(A) + R(B) \leqslant n$

(9) 若 $AB=\mathbf{0}$ ，且 $A$ 为列满秩矩阵，则 $B=\mathbf{0}$ 。这一性质通常称为矩阵乘法的消去率。

(10) 若 $A$ 可逆，则 $R(AB)=R(B), R(BA)=R(B)$

10. 相似矩阵

设 $A,B$ 均是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的相似矩阵，或者说矩阵 $A$ 与 $B$ 相似。

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵
$\Lambda =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{pmatrix}$
相似，则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 即是 $A$ 的 $n$ 个特征值。

9.4 线性方程组的解

定理 3 $n$ 元线性方程组 $Ax=b$
(i) 无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A,b)$
(ii) 有唯一解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)=n$
(iii) 有无限多解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)<n$

定理 4 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解的充分必要条件是 $R(A)<n$

定理 5 线性方程组 $Ax=b$ 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)$

定理 6 矩阵方程 $Ax=B$ 有解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,B)$

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文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
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城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
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双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
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万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
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护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
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白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
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活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
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日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
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男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
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一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
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情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
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代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
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线性代数——矩阵

行列式

1. 定义

2. 余子式和代数余子式

4. 克拉默法则

矩阵

1. 定义

2. 实质

3. 矩阵的运算

3.1 矩阵的加法

3.2 数与矩阵相乘

3.3 矩阵与矩阵相乘

3.3.1 矩阵的幂

3.3.2 一个小知识点

3.4 矩阵的转置

3.5 方阵的行列式

4. 逆矩阵

4.1 定义

4.2 逆矩阵的性质

5. 奇异矩阵、非奇异矩阵、伴随矩阵、正交矩阵

6. 矩阵的多项式

7. 矩阵分块

8. 矩阵的初等变换

8.1 定义

8.2 行阶梯矩阵、行最简形矩阵、标准形

8.3 矩阵初等变换的性质

9. 矩阵的秩

9.1 定义

9.2 矩阵秩的性质

10. 相似矩阵

9.4 线性方程组的解

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