深度学习之softmax函数-梯度计算

在深度学习中，softmax层一般作为输出层出现，也就是网络的最后一层；测试过程中，这一层直接输出网络的最终结果，而在训练过程这一层又会作为误差反传的第一层，也就是计算误差的第一层。
下面我们就来推导一下：
假设softmax层有K个神经元（也可以理解为K个输出）

$softmax\_out = [a_1,a_2,a_3,...a_j,...a_k]$

其中 $a_i=\frac{e^{z_i}}{\sum_{1}^k{e^{z_i}}}$
首先我们先计算softmax的输出 $a_i$ 对输入 $z_j$ 的偏导：
这里有两个情况需要分别处理（1） $i=j$ ,(2) $i\neq j$

当 $i=j$ 时：
$\frac{\partial {a_i}}{\partial {z_j}} = \frac{ e^{z_j} * \sum_{1}^k{e^{z_i}} - {(e^{z_j})^2} } {({\sum_{1}^k{e^{z_i}}})^2} = \frac{e^{z_j}}{\sum_{1}^k{e^{z_i}}} * (1-{\frac{e^{z_j}}{\sum_{1}^k{e^{z_i}}}}) = a_i(1-a_i)$

当 $i \neq j$ 时：

$\frac{\partial {a_i}}{\partial {z_j}} = - {e^{z_i}} * {e^{z_j}} * \frac{1}{({\sum_{1}^k{e^{z_i}}})^2} = - {a_i}{a_j}$

有了这两个公式就可以计算出对应梯度。
假设模型损失的值为 $E$
$\frac{\partial E}{\partial z_i} = \frac{\partial E}{\partial a_i} \frac{\partial a_i}{\partial z_i}$

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