拓扑与拓扑空间
拓扑是定义在一个全集
上的满足一定条件的子集的集合
。具体来说，这个集合需要满足三个性质：
- 包含空集
和全集
- 对于元素的并集封闭
- 对于有限个元素的交集封闭
我们把叫做拓扑空间，叫做定义在该拓扑空间上的一个拓扑。在这个基础上，我们可以定义开集：若
，且
，则称
为一个开集。通俗的来说，如果在一个集合上定义了一个拓扑，那么这个集合所有属于该拓扑的子集都是开集。
对于同一拓扑空间上的两个拓扑，如果一个拓扑包含另一个拓扑，我们称被包含的拓扑更粗糙，而另一个更精细；同时我们也称这两个拓扑是相容的。
拓扑的基
对于一个拓扑空间，我们可以用基来进行刻画。一个拓扑空间的基是满足下面两个条件的子集的集合
：
- 对于拓扑空间里的每一个元素
，至少有一个基元素
包含
- 如果属于两个基元素
和
的交集，那么一定存在第三个基元素
包含，且
如果我们找到了拓扑空间的一个基，那么我们可以通过如下方法产生一个拓扑（称为生成的拓扑）：对于的一个子集，如果其所有元素都能找到一个基元素使得
且
，那么属于该拓扑。
例：在平面上，所有开圆构成的集合是一个基，所有开长方形构成的集合也是一个基。
通过定义可以很轻易地验证，通过基生成的拓扑确实是一个拓扑。事实上，我们可以通过另一种方式刻画通过基生成的拓扑：
引理：若是一个集合，是其一个基，则由生成的拓扑即为中元素的并集产生的集合。
证明该引理并不困难，只需要注意到两点：（1）基中的任意基元素都属于其生成的拓扑；（2）基生成的拓扑中的任意集合都可以表示为其元素所属基元素的并集。但是，对于（2），我们需要注意，这种表示方式不一定是唯一的。
给定一个基，我们可以生成一个拓扑，使得拓扑中的元素可以表示为基元素的并集，这一点与线性空间中的基十分类似：给定一组基，我们可以生成一个子空间，使得子空间中的元素可以表示为基的线性组合。但是，后者是唯一的，而前者并不唯一。
给定一个线性空间，我们可以找到它的一组基；对于拓扑空间，给定一个拓扑，我们同样可以找到一个基，使得这个基生成的拓扑恰好为该拓扑：
引理：若是拓扑空间，是一个拓扑，假设
是中一些开集构成的集合，满足如下条件：对于任意开集以及开集中的任意元素，存在
使得
，那么是的一个基。
通过定义可以验证，上述引理定义的确实是一个基，所以证明上述引理的关键在于证明恰好为生成的拓扑
。
可以通过基生成的拓扑的定义验证，
可以通过前一个引理得出。
基的一个作用在于，可以通过基来对拓扑的精细程度进行刻画。直观上来说，基元素越小，通过基生成的拓扑越精细：
引理：设是一个拓扑空间，和
分别是其两个拓扑，且和
分别是对应的基。那么下述命题是等价的：
-
比更精细
- 对于任意
以及包含的基元素
，存在包含的基元素
，使得
从1到2，注意到
，根据定义即可得出；从2到1，对于任意开集
，可以将其中的元素表示为
，因此有
，故属于生成的拓扑，即为。
除了基外，我们还将引入一个概念：子基。一个拓扑空间的基是满足如下条件的子集的集合
：
中任意元素的有限交形成的一个基，或者说，所有的中任意元素的有限交的并集的集合构成一个拓扑，这个拓扑被称为子基生成的拓扑。我们需要证明的是，集合确实是一个拓扑；换言之，中任意元素的有限交所构成的集合确实是一个基，这个通过验证定义即可。
实数轴上的一些拓扑
我们定义一些实数轴上的拓扑。由引理可得，我们只需要定义对应的基即可确定一个拓扑。
-
标准拓扑：
~%7C~a%2Cb%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%2C~a%3Cb%5C%7D)
-
下限拓扑：
~%7C~a%2Cb%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%2C~a%3Cb%5C%7D)
，对应的拓扑空间为
-
K-拓扑：
-K~%7C~a%2Cb%5Cin%5Cmathbb%7BR%7D%2C~a%3Cb%5C%7D%5Ccup%20%5Cmathcal%7BB%7D)
，其中
为所有正整数的倒数的集合，对应的拓扑空间为
我们引入的这三类拓扑有如下关系：
和的拓扑都严格比
的拓扑精细，但是它们二者并不相容。
