牛顿和爱因斯坦的时空概念

题外话: 写这个笔记的契机是自己遇到了一个关于广义相对论的问题。广义相对论有两种规范对称。一个是局域的洛伦兹(local Lorentz transformation)变换还有一个就是微分同胚(diffeomorphism)。从数学上两种变换分别都很好理解：局域的洛伦兹变换是作用在局域惯性指标上，而微分同胚是作用在坐标系时空指标上。问题是两种变换的关系是什么？具体是说可不可以对于任意一个局域的洛伦兹变换都可以找到一个作用等价的微分同胚。这可能是一个定义良好的微分几何的问题，但也有那么一点哲学上的思考，而且我也并没有看出这个问题会对广义相对论的实际应用有什么影响或是作用。我发现的唯一的用处就是驱策我再好好理解一下广义相对论，在心中理清所有的头绪形成自己认可的时空观，还有最好可以把规范场，纤维从等有关的概念都融入进去形成自己认可的规范场图景。这次的参考资料主要是Nakahara讲纤维从的部分还有Carlo Rovelli 的“量子引力”的的第二章讲相对论的部分。另外再打一个广告：The Theoretical Minimum 系列的场论部分也出版了, 我一直认为这套书是给非物理专业爱好者的“费曼讲义”。

1 牛顿

为了接下来的讨论方便，在自然中四种作用力中，我们只考虑引力，因为我只想讨论时空观。牛顿的绝对时空观很大程度上来自于他的“水桶”思维实验还有他的第二定律：F=ma. 水桶实验是一个参考系的思维实验。

牛顿的水桶

用钢丝吊起一个装满水的水桶，然后旋转这个水桶。开始的时候，水桶里面水还是静止的，水的表面是平的。但是逐渐因为水与水桶壁的摩擦力，水和水桶一样旋转起来，这时的水的表面凹陷起来。我们暂且称这种凹陷为一种运动的作用。

牛顿的想法是，如果我们以水桶为参考系，开始的时候，水相对于水桶是运动的，但是表面是平的，没有体现出运动的作用。但是后来，水相对于水桶静止的时候，却显现出运动的作用变得弯曲起来。所以这个运动的作用并不是来自于水与周围的事物的相对运动。那么这个弯曲究极是来自于水与什么的相对运动。
他的最终的的结论是，水是相对于时空本身转动。时空本身可以作为一种绝对的或者说究极的参考系，这样的话他就可以定义惯性系还有绝对的加速度，这样的他第二定律F=ma才有意义。如果没存在绝对的加速度和惯性系，那么作用力(F)也就没有了绝对的定义，和他的万有引力定律冲突。
当然你可以有很多原因驳斥牛顿的结论，但是从某种角度来说，他是正确的。他提出了一个如何选取正确参考系的问题。从现在的角度来看，他的想法唯一的不足是，他默认了时空是一个整体(global)的和静止的。就是说，在他的想法里，当你决定在时空点A的物体相对于时空点A静止(或者运动)的时候，那么这个物体相对于任何一个时空点都是静止(或者同样的运动)的。更大的问题是牛顿并没有解决如何选取到这个绝对参考系的方法。比如我在天宫一号上面要做物理实验，我怎么知道哪个参考系是这个绝对参考系，一般我还是只能选取我身边的环境，比如天宫一号本身做为参考系，换句话说我选的是一个局域的参考系。但是这个局域的参考系可能相对于绝对时空来说并不是惯性的。所以说仅仅知道绝对参考系的存在是没有用的，还要知道每一个局域的参考系和这个绝对参考系的关系。这样的话，牛顿的时空观就是：存在一个绝对的参考系可以用来定义惯性系，如果要使用绝对参考系或者等价的惯性参考系来作为研究物理的背景，还要先确定时空中任一点处的局域参考系和这个绝对参考系的关系因为局域的参考系可能不是惯性的。现在我们已经把牛顿的时空观推到了他的极致。从某种程度来说，牛顿的时空观并没有错误，只不过他没有意识到这个所谓的局域参考系和绝对参考系的关系就是引力本身！