孟真
2014301020014
摘要##
随机系统在我们的生活中随处可见，比如气体的随机扩散，分子的布朗运动，落叶的运动轨迹等。 我们就来对随机系统这个基本问题进行初步讨论，试图初步了解随机系统中随机性的具体表现以及规律。 我们将以随机游走为例进行讨论。
背景##
随机游走是基于固定区间内的均匀分布随机数数列来进行的计算,随机游走（random walk）也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向。核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律 ，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中。早在1906年Person就提出了"随机游走"的问题,其概念类似于布朗运动,是布朗运动的理想数学状态.任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律,如一维的随机行走,其均方位移随时间线性增加,满足扩散定律:
其中D就是所谓的扩散常数。以一个初始分布释放大量的无规则行走，观察他们的密度就会得到分布函数。
主要内容##
我们就以醉汉回家问题为例：
假定有一个醉汉刚喝完酒准备回家，他只能沿家和酒馆连线方向行走（一维情形）。
1.醉汉的运动是部分随机的,即醉汉每走一步,方向向前向后是完全随机的, 但是每次迈出的距离的一致的。
2.将一维直线分成等长度的小格,醉汉每个状态只能占据一个格子。
3.醉汉每走一步,一定会离开现在所在的格子。
模拟出醉汉经过n步后在x轴上运动的情况
路径1
路径2
路径3
code
增大x方向行走概率后的路径
在n足够大的时候,位移平方的期望和步数呈线性关系
当n足够大时的路径
考虑二维情形作如下简化：
- 醉汉的运动是部分随机的,即醉汉每走一步,只能沿x或者y方向,方向向前向后是完全随机的,但是每次迈出的距离的一致的。
- 将二维平面分成等面积相等的小格,醉汉每个状态只能占据一个格子。
- 醉汉每走一步,一定会离开现在所在的格子。
路径1
路径2
路径3
三次模拟情况完全不同,体现了模型的随机性,然后我们分别考察x以及y方向位移平方的期望
x²随步数的变化
y²随步数的变化
总结##
1.随机游走模型既具有随机的特征,又存在不变的规律。
2.随机游走可以进一步用来探究现实生活中一些随机运动所对应的物理现象。
感谢##
感谢室友的指导与时磊同学的帮助
