写在前面：
这一章的目的是处理那些找不到原函数的积分问题，比如一些特殊的函数和一些离散点。
2.1 机械求积
常见的求积方法：
- 梯形公式:
- 中矩形公式：
- Simpson公式：
机械求积公式：
代数精度：一个求积公式，若对于次数小于m精确成立，对于m+1次多项式不准确，则称之为具有m次代数精度。
关于代数精度有一道经典的例题：
这道题的思路就是，根据未知数A的个数，将f(x)=1,x,x²····依次带入式子中，解出未知数后，再继续往后验证即可。
2.2 插值型求积公式
插值型求积公式实际上就是结合了拉格朗日插值，做n次插值：
lᵢ(x)是拉格朗日插值基函数。
2.3 牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式实际上就是插值型求积公式的一个变型，其特点在于将区间等分，取等分点构造求积公式。
实际上柯特斯系数可以通过查表获得：
然而Newton-Cotes公式有一个致命的弱点，就是高阶不适用，因而引出复化求积。
2.4 复化求积法
什么是复化求积：主要的目的就是通过将积分区间分成多个小区间，在每个小区间上使用低次牛顿柯特斯公式。
几种常用的复合求积公式：
- 复合梯形公式：
余项：- 复合Simposon公式：
余项:
这一章就做例题就完事儿了：
这个题实际上就是把区间八等分，即n=8，得到九个节点，分别带入公式就好：
- 复化辛普森公式要用到每个区间的端点和中点，把八等分看作四等分加上每个中间有一个中点：
- 复化Cotes公式再少一半的n：
其实如果记不住这个区间划分，就直接记着几等分的梯形公式就是几，然后往下依次减半。
再来个关于精度的问题
这里主要是使用误差的结果，M即为在区间内某一点导函数的最大值：
这题有一个处理的小技巧，如果考试遇到了可以用一下，就是把原函数变形为积分的状态：
2.5 龙贝格算法
这里就把前面几个方法像俄罗斯套娃一样串起来了~
复化梯形公式：
- 由复化梯形公式推复化Simpson公式：
- 由复化Simpson公式得复化Cotes公式:
- 由复化Cotes公式推Romberg公式：
统一表示：
实际计算就用这个表就可以：
例题：
练习
1.插值型求积公式时机械积分公式。正确
2.梯形公式的代数精度为:1
3.Newton-Cotes公式求积公式的系数Cₖ⁽ⁿ⁾和为:1
4.计算柯特斯系数需要知道等距点的函数值及区间。错误
5.Cotes求积函数与积分区间和被积函数有关。错误
- Romberg算法是在积分区间逐次分半的过程中，对用复合梯形产生的近似值进行加权平均，以获得精度更高的一种方法。
7.梯形序列和Simpson序列的关系是：S是T的加权线性组合
