我所说的一切都可能是错的！
即使你赞同我的观点，
你的生活也不会因此有任何改变！
除非——你采取了相应的行动。
（这是书先生的第233篇原创分享。2021年6月1日，于新加坡）
引子
儿童节了，先祝大儿童、小儿童们节日快乐，然后附上一篇可能对大儿童、小儿童都有点帮助的文章。文章的主题是“怎样为孩子选数学老师”。
你一个教英语的，却要讲怎样选数学老师？有没有搞错？
放心，绝对没有搞错，这篇文章真的就是关于怎样选数学老师的。读完本文你会发现，英语老师谈怎样选数学老师，其实也可以很靠谱。
事实上，任何一个学科的老师，只要真的专业——我指的专业是指教学上的专业，而不仅仅是学科知识过硬——理论上都应该知道怎样选择任何学科的老师。原因很简单，虽然学科知识差异很大，但学习本身这件事儿的道理是相通的。
好了，现在英语老师就开讲怎样选数学老师了。
学习要“不忘初心”
想到写这个题目，和前段时间的一篇推文有关，也就是下面这篇文章。
在这篇推文的结尾，描述了这样一个情景：
鸡兔同笼问题是一种常见的奥数题目。有很多奥数老师在教小孩儿如何解答这类题目时，会让小孩儿假设鸡和兔子都收起两只脚，这样地上就只剩兔子的脚了。
因为鸡兔的总数（假设为x）和脚的总数（假设为y）是知道的，所以，只需要用y-2x再除以2就是兔子的数量了。兔子的数量知道了，鸡的数量也就知道了。
然后，我问了下面这个问题：
该不该让小孩儿跟着这样教数学的老师学习奥数？
有读者留言说，应该跟着这样的老师学习，因为他教了一种有效的思路。
今天，我提供我的答案——不应该，绝对不要。
为什么？请听我慢慢道来。
上面提到的解体方法的确是一种有效的思路，但是它仅仅是解决这个具体问题的有效思路，不是解决这一类数学问题的有效思路。大多数人都没有认真思考过这二者的区别。
要真正理解二者的区别，我们必须回到学习数学的初衷上来。数学是一种工具，我们学习数学的目的是培养数学思维。
什么叫数学思维？数学思维就是通过严密的逻辑去探寻一类问题的解决方案的思维模式。数学不是实验科学，它不是建立在观察和测量之上，而是建立在公理体系之上。事实上，尺规作图一个最基本的要求就是尺子没有刻度。
数学定理不像物理定律，可以被新的证据推翻。一个数学定理，一旦被证明，就永远是对的。这也是为什么它们一个叫定律（law），一个叫定理（theorem）。
所以，一个数学方法，一旦被证明能解决一类问题，那就绝对能够解决这类问题的所有例子。学习数学，我们应该学习的就是这样的方法。
而一旦掌握了这样的方法，在面对实际问题时，我们唯一需要做的就是判断它是属于哪一类问题。当然，能够准确地判断实际问题背后的数学问题，这又是一种能力，这种能力就是数学建模能力。
近些年自然语言处理和人工智能的飞速发展，原因都是有人找到了具体问题背后的数学问题。比如语音识别问题其实是计算一系列连续事件的条件概率问题，比如文本的相似度判断其实是计算向量之间夹角的余弦值问题，等等等等。
有了这样的认识，再回头来看上面那种抬脚解法，我们就会发现，它根本就不是数学方法，而是处理一个特殊问题时的投机取巧的方法。如果我们总是学习这样的方法，那我们培养的不是数学思维，而是投机取巧的习惯。
抬脚方法对解决鸡兔的具体问题之所以有效，是因为兔子脚的数量刚好是鸡脚的数量的两倍，鸡和兔又都可以抬脚。假如我们面对的不是鸡兔同笼，而是鸡、兔、蜘蛛和蚂蚱同笼呢？假设有一种动物是三只脚呢？甚至都不是动物，而是自行车、三轮车和小汽车呢？车都不会抬脚，怎么办？
不夸张地说，长期以这种方式学习，长远来看，我们不但数学能力得不到发展，还会养成对人生发展都不利的思维习惯。
正确的思路
那正确的思路是怎样的呢？
如果可以用初中数学以上的知识，这类问题的通用解法当然是多元一次方程组。如果只是鸡兔两种动物，就是二元一次方程组。
如果还不知道方程的概念，那么解决这类问题的数学方法应该是列表法。我们以一个具体问题为例。
假设鸡兔共有35个头，94只脚，求鸡兔各自的数量？
列表法就是做下面这样的表。
这个方法的思路就是一个一个试。可能有些“奥数名师”会对这种笨办法嗤之以鼻。但这才是真正的数学方法，上面的抬脚法，根本就不是数学方法。我再强调一遍，不能解决一类的方法都不是数学方法。
仔细想一下，这个方法真的很笨吗？恰恰相反，这个办法可以从多方面培养数学思维能力，因为这个过程包含了很多老师可以去引导学生用数学的方法思考问题的元素。
比如，老师可以引导学生观察列表里脚的总数变化的规律。学生会发现，随着鸡的数量减少和兔子数量的增加，脚的总数变化是有规律的。这个规律就是每一行都比上一行增加2。
老师可以进一步引导学生思考这个2是怎么来的。学生应该可以看出，这个2就是兔子比鸡多出的脚的数量。也就是说，我每减少一只鸡，增加一个兔子，脚的总数就会增加2。
所以，现在问题变成了，需要经过多少次这样的变化，脚的总数才会变成94。答案是（94-70）/2。请注意，这里面的计算似乎和抬脚方法是一样的，但背后的思路完全不一样。
列表法对动物脚的数量没有要求，对题目里面的东西能不能抬脚也没有要求，它揭示的是变化的规律。培养观察变化规律的能力，这对以后学习微积分是非常有好处的。具备这种能力，理解极限也就容易很多了。
即使我们假设孩子的数学知识连观察变化规律都还不能做到，我们也可以引导学生培养另一个数学思维能力，那就是“二分法”。什么意思呢？
如果学生看不出规律，只能列表去猜测，我们也可以教学生不用挨着列表，而是先从中间开始。比如，针对这个问题，我们先从18只鸡开始，182+174=104，104大于94，说明鸡少了，兔子多了。
下一步就选18-35中间的数，27。计算发现，鸡多了，兔子少了。以此类推，只需3至6次就可以得出答案。学过幂函数的都知道，哪怕有1000个头，针对鸡兔同笼问题，也最多只需要列10次表（2的10次方大于1000）。
这个思路，背后是一个更高级的数学问题，那就是如何计算消除不确定性需要的信息量。这个鸡兔同笼的问题如果从信息论的角度来表示，就是最多需要几比特的信息就可以从35个选择中确定正确的选择。
每一次的猜测就是1比特的信息，因为猜一次，你就会一个答案，要么是，要么不是。这个答案，就是信息。35个选择，最多只需要5次猜测，因为2的6次方等于64，大于35。五次不够，因为2的5次方是32，小于35。
小学生当然还听不懂这些，老师也没有必要讲这么深，但只要他经过这样的训练，以后学习信息处理或者计算机算法里的分类问题时，就会有似曾相识的感觉。
要想扎实地学好数学，前面的知识必须要能为后面的知识打好基础，因为数学大厦就是这样一步一步建起来的。如果在某个阶段采用的方法对后面的学习没有帮助，这样的方法就是无效的。说白了，它就不是数学方法。
结语
今天给大家分享了我对什么样的数学解题思路才值得学习的看法。希望对你有所帮助。当您在为孩子选择数学老师时，您就可以问他，您这样教孩子，培养的是什么样的数学思维能力呢？这个思路对将来更复杂的数学知识学习会有什么帮助呢？
好的老师一定能给出满意的答案，而答不出来的，你知道该怎么做了。
好的，今天的分享就到这里。虽然您的语文不一定是体育老师教的，但今天之后，您可以说，您的数学是英语老师教的。
最后，我想请大家思考下面几个问题：
很多家长会说，我知道列表法长远更有好处，但我孩子现在要解决的就是这个特殊的鸡兔同笼问题，抬脚方法又直观又方便，我为什么不能用？那些更一般化的方法，以后再学嘛。请问，这种思路错在哪里？
英语学习中，也经常会有老师教授类似抬脚方法一样的伪方法。请问，您是否碰到过这样的方法？是什么样的？为什么您觉得是伪方法？
欢迎大家在留言区分享。
