高数学习笔记3——七种未定式的计算

计算方法:

1、化简

    化简方法:

        a、提出极限不为零的因式。

        b、等价无穷小替换。

            常见无穷小等价替换:

                \sin x -x,\tan x -x,

                arc\sin x -x,arc\tan x -x,

                ln (x +1)-x,e^x—x,

                a^x-1—x\ln a ,

                1-\cos x —\frac{1}{2} x^ 2,

        c、换元法(多用于分子较多且复杂,分母简单无法化简的分式)。

2、判断类型

    \frac{0}{0} ,\frac{∞}{∞} ,0\cdot ∞

    ∞—∞

    ∞^0,1^∞ ,0^0

3、计算

    计算方法:运算法则、夹逼准则、洛必达法则、泰勒公式、海涅定理(归结原则)等。

例题

1、\frac{0}{0},\frac{∞}{∞}  ,0\cdot ∞

例1.1

例1.2

例1.3


例1.4


例1.5

2、∞—∞

解题方法:

    Ⅰ、题中有分母,则通分化简,将加减法变成乘除法进行计算(方便使用洛必达法则等)

    Ⅱ、题中没有分母,则用倒带法创造分母进行计算。

例:


3、∞^0,1^∞ 
0^0

    这三种情况,通常用恒等变形解决。\lim u^v=e^(\lim v\ln u)

例:


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