2024-03-17

和差化积公式在极限中的应用

三角函数和差化积公式 $\sin A-\sin B=2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$

1.求证 $\lim_{n\rightarrow\infty}\sin n$ 不存在

Hint:运用反证法。

事实上，区间 $[-1,1]$ 中的每个点都是数列 $\{\sin n\}_{n=1}^{\infty}$ 的聚点，也即对任意给定的 $l\in[-1,1]$ ，总可以找到子列 $\{\sin n_k\}_{n_k=1}^{\infty}$ 使得 $\lim_{n\rightarrow\infty}\sin n_k=l$ 。

2.运用上述和差化积公式，证明 $\lim_{n\rightarrow\infty}(\sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n})=0$

3.运用上述和差化积公式，证明函数 $f(x)=\sin x$ 在任意一点 $x_0$ 处连续，即 $\lim_{x\rightarrow x_0}\sin x=\sin x_0$

七种未定式

四种四则运算形式

$\infty-\infty$ , $0\cdot\infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$
$\infty-\infty$ 通过通分，也归结为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 这两种

三种指数形式

$1^{\infty}$ , $0^0$ , ${\infty}^0$

我们已经知道了 $1^{\infty}$ 型未定式的一个例子， $\lim_{x\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$
尝试计算：
$\lim_{x\rightarrow 0}x^x$ （ $0^0$ 型）
$\lim_{x\rightarrow \infty}x^{\frac{1}{x}}$ （ $\infty^0$ 型）

Hint：考虑取对数。

比较各种无穷大的快慢

之前学过，无穷大之间增长速度的比较有如下排序：
$\ln x <<x^{\alpha}（其中\alpha>0）<<a^x(其中a>1)$
越往左越小（增长越慢），越往右越大（增长越快）。

可以发现，指数函数是我们目前接触到的里，增长至无穷最快的，那么有比指数函数更快的吗？

1.证明
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a^n}{n!}=0$
因此阶乘 $n!$ 比指数 $a^n(a>1)$ 快。

2.证明
$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{n^n}=0$
因此 $n^n$ 比阶乘 $n!$ 快。

事实上有更精致的排序：

$\ln\ln n<<\ln n<<n^{\alpha}（其中\alpha>0）<<a^n(其中a>1)<<n!<<n^n$

$\ln\ln x<<\ln x<<x^{\alpha}（其中\alpha>0）<<a^x(其中a>1)<<\Gamma(x)<<x^x$

其中 $\Gamma(x)$ 是阶乘 $n!$ 在自变量取值于实数 $\mathbb{R}$ 时的推广，即当 $x$ 取整数 $n+1$ 时，有 $\Gamma(n+1)=n!$

最后编辑于：2024.03.18 00:07:13

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