模型的复杂度决定了模型的拟合上限，这里的复杂度通常指模型的深度和每层的神经元的个数。当感知机隐藏层的个数大于等于1层时，则称为多层感知机。

前面我们介绍了线性模型，线性意味着单调假设： 任何特征的增大都会导致模型输出的增大（如果对应的权重为正）， 或者导致模型输出的减小（如果对应的权重为负）。 有时这是有道理的。 例如，如果我们试图预测一个人是否会偿还贷款。 我们可以认为，在其他条件不变的情况下， 收入较高的申请人总是比收入较低的申请人更有可能偿还贷款。 但是，虽然收入与还款概率存在单调性，但它们不是线性相关的。 收入从0增加到5万，可能比从100万增加到105万带来更大的还款可能性。 处理这一问题的一种方法是对我们的数据进行预处理， 使线性变得更合理，如使用收入的对数作为我们的特征。然而我们可以很容易找出违反单调性的例子。 例如，我们想要根据体温预测死亡率。 对于体温高于37摄氏度的人来说，温度越高风险越大。 然而，对于体温低于37摄氏度的人来说，温度越高风险就越低。 在这种情况下，我们也可以通过一些巧妙的预处理来解决问题。 例如，我们可以使用与37摄氏度的距离作为特征。但是，如何对猫和狗的图像进行分类呢？ 增加位置 (13,17) 处像素的强度是否总是增加（或降低）图像描绘狗的似然？ 对线性模型的依赖对应于一个隐含的假设， 即区分猫和狗的唯一要求是评估单个像素的强度。 在一个倒置图像后依然保留类别的世界里，这种方法注定会失败。与我们前面的例子相比，这里的线性很荒谬， 而且我们难以通过简单的预处理来解决这个问题。 这是因为任何像素的重要性都以复杂的方式取决于该像素的上下文（周围像素的值）。

处理这种问题的方式是将原先感知机的模型增加隐藏层，并且引入非线性，这样模型能够处理更普遍的函数关系模型，而不仅仅是线性关系。

多层感知机

这个多层感知机有4个输入，3个输出，其隐藏层包含5个隐藏单元。 输入层不涉及任何计算，因此使用此网络产生输出只需要实现隐藏层和输出层的计算。 因此，这个多层感知机中的层数为2。 注意，这两个层都是全连接的。 每个输入都会影响隐藏层中的每个神经元， 而隐藏层中的每个神经元又会影响输出层中的每个神经元。

全连接层的参数数量很多

引入非线性

由于线性模型相加或者复合都为线性模型，所以如果仅仅是增加隐藏层，模型最后仍然是属于线性模型。证明如下：

所以，除了在隐藏层中添加额外的神经元意外，还需要在每个神经元后架设引入非线性的激活函数（activation function）。引入激活函数后，多层感知机则不会退化为线性模型：

为了构建更通用的多层感知机， 我们可以继续堆叠这样的隐藏层， 例如 和 ， 一层叠一层，从而产生更有表达能力的模型。

通用近似定理

多层感知机可以通过隐藏神经元，捕捉到输入之间复杂的相互作用， 这些神经元依赖于每个输入的值。 我们可以很容易地设计隐藏节点来执行任意计算。 例如，在一对输入上进行基本逻辑操作，多层感知机是通用近似器。 即使是网络只有一个隐藏层，给定足够的神经元和正确的权重， 我们可以对任意函数建模，尽管实际中学习该函数是很困难的。 你可能认为神经网络有点像C语言。 C语言和任何其他现代编程语言一样，能够表达任何可计算的程序。 但实际上，想出一个符合规范的程序才是最困难的部分。

而且，虽然一个单隐层网络能学习任何函数， 但并不意味着我们应该尝试使用单隐藏层网络来解决所有问题。 事实上，通过使用更深（而不是更广）的网络，我们可以更容易地逼近许多函数。

激活函数

最受欢迎的激活函数是修正线性单元（Rectified linear unit，ReLU）， 因为它实现简单，同时在各种预测任务中表现良好。 [ReLU提供了一种非常简单的非线性变换]。 给定元素，ReLU函数被定义为该元素与的最大值：

通俗地说，ReLU函数通过将相应的活性值设为0，仅保留正元素并丢弃所有负元素。 为了直观感受一下，我们可以画出函数的曲线图。 正如从图中所看到，激活函数是分段线性的。

Relu

使用ReLU的原因是，它求导表现得特别好：要么让参数消失，要么让参数通过。
这使得优化表现的更好，并且ReLU减轻了困扰以往神经网络的梯度消失问题（稍后将详细介绍）。

ReLU函数有许多变体，包括参数化ReLU 该变体为ReLU添加了一个线性项，因此即使参数是负的，某些信息仍然可以通过：

pytorch 实现

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
                    nn.Linear(784, 256),
                    nn.ReLU(),
                    nn.Linear(256, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

batch_size, lr, num_epochs = 256, 0.1, 10
loss = nn.CrossEntropyLoss()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr)

train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)