应用场景-背包问题
背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品
背包问题
要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
要求装入的物品不能重复
动态规划算法介绍
动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.
思路分析和图解
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
算法的主要思想，利用动态规划来解决。
每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
(1) v[i][0]=v[0][j]=0;
//表示 填入表 第一行和第一列是0
(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]
// 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，
//就直接使用上一个单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
背包填表的过程
代码实现
package cn.icanci.algorithm.dynamic;
/**
* @Author: icanci
* @ProjectName: AlgorithmAndDataStructure
* @PackageName: cn.icanci.algorithm.dynamic
* @Date: Created in 2020/3/18 12:05
* @ClassAction: 背包问题
*/
public class KnapsackProblem {
public static void main(String[] args) {
//物品的重量
int[] w = {1, 4, 3};
//物品的价值
int[] val = {1500, 3000, 2000};
//最多容纳重量
int m = 4;
//物品个数
int n = val.length;
//为了记录放入商品的情况 定义二维数组
int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
//初始化第一行第一列
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
v[0][i] = 0;
}
//根据公式写
//不处理第一列
for (int i = 1; i < v.length; i++) {
for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {
//程序是从1开始的,所以需要 i-1
if (w[i - 1] > j) {
v[i][j] = v[i - 1][j];
} else {
// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
//为了记录商品的存放的背包的情况 不能直接使用
if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = v[i - 1][j];
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
}
}
}
}
//输出一下v
for (int i = 0; i < v.length; i++) {
for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
//输出放入的是那些产品 这里是全部输出
// for (int i = 0; i < path.length; i++) {
// for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
// if (path[i][j] == 1) {
// System.out.println("第 " + i + " 个商品 进入背包 ");
// }
// }
// }
int i = path.length - 1;
int j = path[0].length - 1;
while (i > 0 && j > 0) {
if (path[i][j] == 1) {
System.out.println("第 " + i + " 个商品 进入背包 ");
j -= w[i - 1];
}
i--;
}
}
}
测试
0 0 0 0 0
0 1500 1500 1500 1500
0 1500 1500 1500 3000
0 1500 1500 2000 3500
第 3 个商品 进入背包
第 1 个商品 进入背包
