无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。比如圆周率π，欧拉数e，黄金比例φ，非完全平方数的平方根，无限的连分数，某些等比数列数等等
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
根号2
根号2是一个无理数的证明：
https://www.youtube.com/watch?v=mX91_3GQqLY
这种假设一个数为有理数，并且是两个整数的分数形式的证明方法（反证法），是所有无理数证明中的常用方法~
这里介绍了一共五中对根号2是无理数的证明：
https://www.youtube.com/watch?v=zEXcsZo4hOQ
π
π 是无理数的经典证明，是由250年前的 Johann Lambert 做出的：
https://www.youtube.com/watch?v=Lk_QF_hcM8A
π 是无理数的一个简单的证明：
https://www.youtube.com/watch?v=jGZtVl4XfGo
澳大利亚2003年高中数学考试（17岁左右），就出现过对π是无理数的证明题：
The Higher School Certificate (HSC) is the credential awarded to secondary school students who successfully complete senior high school level studies in New South Wales, Australia.
e
e 是无理数的一个证明：
https://www.youtube.com/watch?v=Xh0Q0VJ-6X0
φ
φ 的证明：
https://www.youtube.com/watch?v=dTWKKvlZB08
因为 根号5 是无理数，所以 φ 自然也是无理数
戴德金分割（Dedekind cut）
在实数和连续性理论方面，Dedekind 提出 Dedekind cut，给出了无理数及连续性的纯算术的定义。1872年，他的《连续性与无理数》出版，使他与G.康托尔、K.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人。
