函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具；函数概念及其反映的数学思想方法已经渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。同时，函数知识有广泛的实际应用，并且是学习其他学科的重要基础！

      上述文字是人教版教材第三章函数的章首语，说出了我心中所想！这段文字正好是北师大版教材章首语增加的内容。我觉得章首语是整章内容的概括，起着承上启下的作用，很多章节章首语的描述非常具有教学艺术，值得我们借鉴学习！北师大版和人教版教材章首语都提到了函数是描述客观世界变化规律的数学模型，但人教版教材从天宫二号的发射过程，发射点的距离随时间的变化而变化，一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低，我国高速铁路营业里程逐年增加这些客观世界中的运动变化现象来引出变量间的对应关系显然更饱满一些！更联系实际一些！

      其次，人教版教材章首语最后一段提到了这一章主要研究哪些内容“本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合的语言和对应关系刻画函数概念，通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法。在此基础上，学习运用函数理解和处理问题的方法。

     北师大版教材这节课安排在必修一第二章第二课时，第一课时是《变量间的基本关系》，之前上课的时候很多老师直接略过了《变量间的基本关系》，认为这节课考试不考，对函数的概念没有作用，这节课应该是初高中衔接课，让学生先对对应有一个初步理解，进而让学生更好的从用变量刻画函数过渡到用集合刻画函数！包括映射也是为了让学生更好的理解对应关系，人教版教材删掉了《生活中的变量关系》和《映射》，实际授课过程中，这两部分内容确实属于“鸡肋”，它们对函数概念的理解并没有太大益处，高考中完全没有考过这部分内容！人教版教材删掉这两节内容更符合学生实际！

     北师大版教材先回顾了初中对函数得定义“在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。接着直接从集合的观点出发给出了函数的新定义。虽然后面从物理知识给出了3个函数的模型，但之前单纯通过教材讲函数概念的时候总觉得很单薄，直接从集合观点出发定义函数学生不好理解！

    人教版教材刚好解决了这个问题。既然高中没有用初中对函数的定义，我认为人教版教材一言以概之更突出重点“在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。”人教版教材给出了具体的例子“1、正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数。这个函数与正比例函数y=4x相同吗？2、你能用已有的函数知识判断y=x与y=x2/x是否相同吗？”这两个问题更容易让学生理解为什么要重新定义函数！

     其次，人教版教材通过4个实际问题，问1复兴号列车行进的路程和运行时间的关系，问2电器维修公司工资和工作时间的关系，问3一天内任一时刻空气质量指数和时刻的关系，问3某城镇居民恩格尔系数和年份的关系，分别用解析法、图像法和列表法给出了对应关系。问题1和问题2解析式相同，只不过问题1定义域是连续数集，问题2定义域是离散数集，每一个问题都从两个数集的对应关系出发进行分析，最后对比四个问题概况出它们的共同特征：1、都包含两个非空数集，用A，B来表示；2、都有一个对应关系；3、尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。

    既然4个问题是3类对应关系，所以人教版教材先解释了f的含义，再有函数的定义“事实上，出解析式、图像、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系”。函数的概念表述两本教材没有变化，但人教版教材把初中学过的一次函数和二次函数用新定义分析了定义域、值域和对应关系，加深了学生的理解！并让学生思考反比例函数的定义域、对应关系和值域各是什么？

   这节课唯一的例题是一道开方性的问题：函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的，它反映了两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如：正比例函数y=kx（k≠0)可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x（10-x)来描述。