12-非线性变换

[林轩田]12-非线性变换

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二次方程的hypothesis

对于非线性的数据分类,如果我们使用线性模型,就会使得Ein很大,分得不好。

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对称中心在原点的二次方程

现在我们考虑如何用二次方程(圆的方式)来进行separate: 我们可以使用半径平方为0.6的圆可以将它分开 。

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这里我们进行非线性的变换,实现坐标系的变换。从x空间变到z空间。在x系里面圆圈可分的情况在z系里面变得线性可分了。在x系里面可以用圆分开则在z系里面一定可以线性可分。

但是在z空间里面可以用直线分开的情形,在x空间里面就可能是圆、椭圆、双曲线等情况,所以说在z空间里面的直线在x空间里面对应的是特殊二次曲线(圆心在坐标原点),三个参数。

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一般情形的二次式

把所有的二次项、所有的一次项和常数项都要包含进来,这样在Z空间里面的直线对应x空间的二次hypothesis
这个权值W需要6个参数

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所以我们如果能够在z空间里面找到好的线性分割,就能在x空间里找到好的二次曲线分割。


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非线性变换

空间变换

  1. 首先把原始在x空间的数据变换到z空间的数据。
  2. 在z空间中得到好的线性感知机。
  3. 在z空间对得到的模型g进行反变换得到x空间应该有的二次曲线模型。

而实际上第三步并不是取逆变换,而是考察一个点在x空间的分类的时候,把这个点先转换到z空间,然后看它是哪个分类,我们就知道它在x空间里面应该是哪个分类了。

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非线性变换的代价

之前从原始特征用领域知识变换到具体特征就是这样。

z空间的维度

从d维度特征的二次x空间转化为一次z空间是多少个维度。


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z空间的计算和存储代价

d维Q次特征空间转化到1次空间时的特征维度是 $$ C_{Q+d}^{d} $$

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证明:d维Q次特征空间转化到1次空间时的特征维度是$$ C_{Q+d}^{d} $$

可以把问题转化为求d个变量组成的Q次多线程里面,各种子项总共有多少个。转化为相同的问题就是:
把k个相同的物体分给d个人,不一定每个人都分到,也不一定分完,问有多少种分法?
那么这个问题是比较复杂的,我们高中的时候学的问题是下面这个类型的:

问题1. 把k个相同物体分给d个人,每人最少1个,要求分完,那么有几种分法?
设第i个人分得$$ x_i $$个物体,则$$ 0 < x_i < k $$ 用我们熟悉的插板法,在k-1个间隙里面插入d-1个板(分成d份),分法有

$$ C_{(k-1)}^{(d-1)} $$

问题2. 把k个相同的物体分给d个人,不一定每个人都分到,但物体必须分完,问有多少种分法?
设第i个人分得$$ x_i $$个物体,则$$ 0\leqslant x_i \leqslant k $$,我们可以把它转化一下
$$ x_1+x_2+...+x_d = k \rightleftharpoons (x_1+1)+(x_2+1)+(x_3+1)+...+(x_d+1) = k+d $$

$$ 0\leqslant x_i \leqslant k \rightleftharpoons 1 \leqslant x_i+1 \leqslant k+1 $$
可以认为把k+d个物体分给d个人,使用插板法 结果为

$$ C_{k+d-1}^{d-1} $$

到这里我们就可以把我们的问题转化为这里面相同的问题了,不分完可以理解为还有一个潜在的第k+1个人,把最后剩下的物体分给它。所以这个问题就转化为 把k个物体分给d+1个人,不一定每个人都分到,但物体必须分完。也转化为把k+d+1个物体分给d+1个人,每人必须分到,物体必须分完,所以结果为 $$ C_{k+d}^{d} $$

应该选择怎样的模型。

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模型越复杂 $$ E_{in} $$越小,如果你选择的模型的维度比较高,会使得$$ E_{in} $$ 会使得 $$E_{out} / E_{in}$$ 差别会很远
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